Declive
A inclinação tem nomes diferentes (ou seja, taxa média de mudança ou inclinação de uma linha) e diferentes meios de encontrar seu valor. Em álgebra, a inclinação é a medida de quão rápido uma função está mudando. Ele divide a mudança na variável y pela mudança na variável x (mudança em y) / (mudança em x). Por exemplo, se uma função tem uma inclinação de 2/3, isso significaria que o valor y aumenta 2 unidades toda vez que o valor x aumenta 3 unidades. Em geometria, a inclinação aparece como a inclinação de uma linha.
Inclinação de uma linha
Quando uma linha é representada graficamente em uma grade de coordenadas, a inclinação é uma medida de sua inclinação. Um gráfico que sobe a partir da esquerda tem uma inclinação positiva. Um gráfico que desce da esquerda tem uma inclinação negativa. Se uma linha for plana, ela tem uma inclinação zero. A inclinação de uma linha vertical é considerada indefinida.
Triângulos semelhantes
Dois triângulos são considerados semelhantes quando os três ângulos de um triângulo são congruentes com os três ângulos do outro triângulo e os lados têm uma proporção comum. Se o comprimento do lado curto do triângulo A for duas vezes o comprimento do lado curto do triângulo B, então todos os outros lados do triângulo A serão duas vezes o comprimento dos lados do triângulo B. A proporção comum é igual ao fator de escala . Neste exemplo, o fator de escala (razão comum) é 2.
Incline usando triângulos semelhantes
Se você quiser usar triângulos semelhantes para ilustrar a inclinação, os triângulos precisarão ser triângulos retângulos. A inclinação da hipotenusa do triângulo retângulo é o que interessa a você. As pernas do triângulo serão a mudança horizontal (x) e a mudança vertical (y) dos dois pontos finais (vértices) da linha. Para criar um triângulo retângulo a partir de quaisquer dois pontos em uma linha, desenhe três linhas.
- Uma linha conectando os dois pontos
- Uma linha vertical no valor x de um ponto
- Uma linha horizontal no valor y do outro ponto
- A área delimitada por essas três linhas é o triângulo retângulo.
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O triângulo ABC e o triângulo DEF são triângulos retângulos semelhantes. Isso significa que os ângulos são congruentes e os lados têm uma proporção comum. A proporção comum entre os dois triângulos é 2. Se os lados do triângulo ABC são 3, 4 e 5 unidades, os lados do triângulo DEF serão 6, 8 e 10 unidades. Os vértices do triângulo ABC são (1,1), (4,1) e (4,5). Os vértices do triângulo DEF são (5,1), (11,1) e (11,9). A inclinação pode ser ilustrada usando esses dois triângulos. Vamos encontrar a inclinação das hipotenos de ambos os triângulos. A hipotenusa (o lado mais longo) do triângulo ABC é o segmento de reta AC. A hipotenusa do triângulo DEF é o segmento de reta DF. O segmento de linha AC vai de (1,1) a (4,5). O segmento de linha DF vai de (5,1) a (11,9). A inclinação é a mudança em y (distância vertical) dividida pela mudança em x (distância horizontal). O segmento de linha AC tem valores y que vão de 1 a 5, uma mudança de 4. Os valores x vão de 1 a 4, uma mudança de 3. A inclinação de AC é 4/3. Os valores de y do segmento de linha DF vão de 1 a 9, uma mudança de 8. Os valores de x vão de 5 a 11, uma mudança de 6. A inclinação de DF é 8/6 que se reduz para 4/3. Como os dois triângulos são semelhantes, suas hipotenos sempre terão a mesma inclinação.
É comum ver um triângulo aninhado dentro de outro triângulo semelhante. Nesta situação, os dois triângulos compartilham um dos ângulos. Dois dos lados fazem parte do triângulo maior. Apenas um lado é distinto. Os triângulos aninhados ilustram que quaisquer dois pontos em uma linha fornecem a mesma inclinação.
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O triângulo ABC, (7,1), (1,9) e (1,1), e o triângulo ADE, (7,1), (4,5) e (4,1), são triângulos semelhantes. A inclinação de AB seria de (7,1) a (1,9). A mudança em y (1 a 9) é 8. A mudança em x (7 a 1) é -6. A inclinação é -4/3. A inclinação de AD seria de (7,1) a (4,5). A mudança em y (1 a 5) é 4. A mudança em x (7 a 4) é -3. A inclinação de AD também seria -4/3. Você também pode escolher qualquer ponto na linha AB e criar um triângulo com ele e o ponto A. A inclinação desse segmento de linha também será -4/3.
Resumo da lição
A inclinação em álgebra é a mudança em y dividida pela mudança em x. A inclinação também pode ser representada por um triângulo retângulo. A hipotenusa do triângulo será o lado que representa a inclinação. As duas pernas serão a distância vertical e a distância horizontal que os pontos moveram. Se você fosse escolher outros pontos na mesma linha, criaria um triângulo semelhante com a mesma inclinação.