Revisão da Concavidade
Vamos revisar a concavidade por um minuto. A concavidade de uma função é como sua derivada está mudando, então, na verdade, está olhando para a segunda derivada de uma função. Uma função côncava para cima parece uma ‘xícara’, e uma função que é côncava para baixo parece uma ‘carranca’. Se olharmos para uma função côncava para cima, sua derivada pode ser negativa ou pode ser positiva, mas está sempre aumentando. Portanto, a segunda derivada sempre será positiva. Algo que é côncavo para baixo tem uma primeira derivada que pode ser positiva ou negativa, mas sempre decrescente. Portanto, a segunda derivada de um côncavo para baixo será negativa.
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Se você tiver algo que é côncavo para cima e côncavo para baixo, o ponto onde eles se encontram é chamado de ponto de inflexão . Nesse ponto, a segunda derivada é igual a zero. Aqui, eu tenho côncavo para cima, minha xícara de rosto sorridente, e eu tenho côncavo para baixo, minha carranca. Na verdade, tenho um mínimo e um máximo neste gráfico e tenho um ponto de inflexão onde as partes côncavas para cima e côncavas para baixo se encontram. Se eu representar graficamente a primeira derivada, vejo que é zero no mínimo e no máximo, e que a segunda derivada será zero no ponto de inflexão onde ficamos entre uma xícara e uma carranca.
Primeiro Exemplo de Concavidade
Então, vamos dar um exemplo. É y = x ^ 2 – 1 côncavo para cima ou côncavo para baixo? Você pode conseguir fazer um gráfico de cabeça e, se puder, saberá que é côncavo para cima. É uma parábola que parece uma xícara. Mas como posso realmente mostrar isso matematicamente? Bem, a segunda derivada é positiva ou negativa, ou ambas? Vamos dar a primeira derivada. Vou tirar a derivada disso em relação ax , que é apenas y `= 2 x . Às vezes, quando x é menor que zero, a primeira derivada será negativa, e às vezes será positiva, quando x for maior que zero. Vamos pegar a segunda derivada, a derivada de y `. entãoy « é igual à derivada de 2 x , que é apenas 2. Portanto, a segunda derivada é sempre positiva, sempre maior que zero em todos os lugares. Em todos os lugares y = x ^ 2 – 1, nossa função original, é côncava porque a segunda derivada é sempre maior que zero.
Segundo Exemplo de Concavidade
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Que tal uma função mais complexa como y = ( x -1) ^ 3 – 4 x +5? Eu posso ser capaz de fazer um gráfico, mas vamos descobrir formalmente se isso é côncavo para cima, côncavo para baixo ou ambos. Vamos dar a primeira derivada. Portanto, vou diferenciar o lado direito em relação ax e, tenho que usar a regra da cadeia aqui, obtenho y `= 3 ( x -1) ^ 2 – 4. Tudo bem, vamos diferenciar novamente: y « = 6 ( x -1). Isso é positivo e negativo. Se xé muito pequeno, qualquer coisa menor que 1, isso vai se tornar negativo. Para valores maiores, será positivo. Portanto, sei imediatamente que, como a segunda derivada pode ser positiva e negativa, este gráfico terá regiões onde tenho uma xícara e regiões onde tenho uma carranca; vai ter ambos. Vamos encontrar os pontos de inflexão definindo isso igual a zero: 0 = 6 ( x -1). Isso é resolvido quando x = 1, então em x = 1 há um ponto de inflexão. Em x = 1, estou passando de uma carranca ou de uma xícara para a outra; Estou mudando entre os dois.
Eu tenho uma xícara do lado esquerdo ou uma xícara do lado direito? Vamos desenhar uma reta numérica e descobrir. Vou colocar x = 1 bem no meio da reta numérica e vou marcar isso como meu ponto de inflexão. Vou escolher um valor no lado esquerdo, algo menor que 1. Zero geralmente é um número fácil, então vamos escolher esse ponto. E vou escolher algo no lado direito de 1. Vamos escolher 2; Eu não quero que seja muito grande. Vou ver se a segunda derivada é maior que zero em 0 ou é maior que zero em 2? Talvez não seja maior que zero em nenhum dos dois. Em x = 0, minha segunda derivada será y « = 6 (0-1) ou -6. Isso é menos que zero. Portanto, para valores de xque são menores que 1, eu tenho uma segunda derivada menor que zero, o que vai me deixar carrancudo – esta região côncava para baixo aqui. E em x = 2? Em x = 2, minha segunda derivada é y « = 6 (2-1) ou 6. Isso é definitivamente maior do que zero. Então, no lado direito, porque minha segunda derivada é maior que zero, eu tenho côncavo nesta região. Eu tenho uma função que é côncava para baixo para x menor que 1 e côncava para cima para x maior que 1. Em x = 1, temos um ponto de inflexão.
Terceiro Exemplo de Concavidade
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Vamos fazer um exemplo ainda mais difícil. Digamos que y = (1/2) x ^ 4 – ( x +1) ^ 3 – 3 x ^ 2. Agora eu precisava de ajuda para fazer um gráfico, então usei uma calculadora. Então, onde estão os pontos de inflexão neste gráfico? Bem, vamos encontrar a primeira derivada. Se eu diferenciar isso em relação a x , obtenho y `= 2 x ^ 3 – 3 ( x +1) ^ 2 – 6 x . Tudo bem, essa é a primeira derivada; e a segunda derivada? Vou diferenciar a primeira derivada em relação ax e obtenho y « = 6 x ^ 2 – 6 ( x+1) – 6. Se eu quiser encontrar os pontos de inflexão, a primeira coisa que preciso saber é onde isso é igual a zero. Então vou fatorar isso e resolver para zero: 0 = 6 x ^ 2 – 6 ( x +1) – 6. Posso expandir isso e fatorá-lo para que o lado direito se torne 6 ( x -2) ( x +1). Bem, y « = 0 em x = 2 ou x = -1. Esses são pontos de inflexão? Vamos desenhar uma reta numérica e descobrir.
Aqui está minha reta numérica e marcarei x = -1 ex = 2, os dois pontos onde a segunda derivada é igual a zero. O que acontece com a segunda derivada em -2? Em -2, y « = 6 (-2-2) (- 2 + 1), acabo com y « = 6 (-4) (- 1) = 24, então tudo vai ser positivo. Portanto, y « é maior que zero para valores de x menores que -1, ey « maior que zero me dá uma xícara. Nesta região intermediária, entre x = -1 e x = 2, vamos escolher um valor zero. O que é y « quando x = 0? y « = 6 (0-2) (0 + 1), e eu tenho 6 (-2) (1) = – 12. Bem y« é definitivamente menor que zero, porque -12 é menor que zero, então para esta região aqui eu tenho um côncavo para baixo, uma carranca. E quando x é maior que 2, então digamos x = 3. Quando x = 3, y « = 6 (3-2) (3 + 1), e eu tenho 6 (1) (4) = 24. Isso é maior que zero, então aqui, y « é maior que zero e eu tenho outra xícara. Esses são realmente pontos de inflexão porque estou indo entre uma xícara, uma carranca e uma xícara. Você pode estar pensando que toda vez que temos um ponto de inflexão, estamos indo entre uma xícara e uma carranca. Isso é verdade, e encontramos esses pontos de inflexão onde y « = 0. Mas há um caso em que y « = 0 e não temos um ponto de inflexão?
Quarto exemplo de concavidade
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Vejamos y = x ^ 4. Posso pegar a primeira derivada e obtenho y `= 4 x ^ 3. A segunda derivada é y « = 12x ^ 2. Isso é definitivamente igual a zero quando x = 0, porque 12 (0) = 0. Então y «, quando x = 0, é zero, e você pode pensar que este é um ponto de inflexão. Vamos traçar nossa reta numérica. Aqui eu tenho 0, onde y « = 0, e vamos olhar para valores menores que zero, então digamos x = -1. Bem, em x = -1, y « = 12 (-1) ^ 2 = 12, então isso significa que para valores de xque são menores que zero, eu tenho uma região que é côncava, uma xícara. Para valores de x maiores que zero, digamos 1, tenho y « = 12 (1) ^ 2 = 12, que também é maior que zero. Portanto, quando x é maior que zero, também tenho uma região côncava para cima. x = 0 é um ponto muito especial em que a segunda derivada é igual a zero, mas eu tenho algo que é côncavo em ambos os lados, então não é um ponto de inflexão.
Resumo da lição
Vamos revisar. Concavidade é como a derivada de uma função está mudando. Algo que é côncavo para cima se parece com uma xícara, e algo que é côncavo para baixo parece uma carranca. Algo que é côncavo para cima tem uma primeira derivada crescente, então a segunda derivada é maior que zero. Algo que é côncavo para baixo tem uma derivada que é decrescente, então a segunda derivada é menor que zero. Um ponto de inflexão é onde a segunda derivada vai de positiva para negativa. Este é o ponto onde y « = 0, mas nem todo ponto onde y « = 0 é um ponto de inflexão. Você vai ter que desenhar uma reta numérica para descobrir se é realmente um ponto de inflexão.