Completando o quadrado
Completar o quadrado é uma das coisas mais difíceis que você terá que fazer em uma aula de álgebra. Não apenas requer que você aprenda um monte de novas habilidades, mas também precisará se lembrar de muitas das mais antigas. Antes de mergulharmos diretamente em alguns problemas práticos, vamos revisar rapidamente o básico.
Completar o quadrado transforma uma equação quadrática na forma padrão em uma na forma de vértice. Um trinômio na forma padrão ( y = ax 2 + bx + c ) pode ser fatorado em um binômio quadrado perfeito , desde que o valor c no final seja igual a ( b / 2) 2 . Se o valor c do seu trinômio não for naturalmente igual a esse valor exato, você pode ‘completar o quadrado’ executando operações em ambos os lados da equação para forçar o valor c a ser exatamente o que você deseja.
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Exemplo 1
Então, como isso se parece na prática? Vamos tentar mudar esta equação de forma padrão ( y = x 2 – 20 x – 25) para a forma de vértice completando o quadrado. Isso exige que transformemos esse trinômio em um binômio quadrado perfeito. Para que isso funcione, o valor c do trinômio precisa ser o número correto exato: ( b / 2) 2 . Vamos verificar se este já é o valor correto. Nesse caso, nosso valor b é -20, então -20/2 = -10 e (-10) 2 = 100, então ainda não estamos em boa forma. Agora nosso c-valor é -25, mas precisamos que seja 100. Felizmente, esta é uma equação, o que significa que podemos adicionar ou subtrair algo de ambos os lados do sinal de igual para mudar o valor c para exatamente o que queremos que seja .
Nesse caso, mudar -25 em 100 significa que teremos que adicionar 125 a ambos os lados da equação, deixando assim: y + 125 = x 2 – 20 x + 100. Neste ponto, contanto que não cometemos um erro, agora podemos fatorar o trinômio. O fatoração exige que procuremos dois números que somam o termo do meio, -20, e multipliquem-se até a constante no final, 100. Examinando rapidamente os fatores de 100 e, em seguida, encontrando um par deles que soma – 20 Portanto, -10 e -10 são nossos dois vencedores, o que significa que posso fatorar o trinômio à direita como ( x – 10) ( x -10). O que significa que a nova equação ficará assim: y + 125 = ( x – 10) ( x-10). Como os x – 10s são iguais, posso combiná-los em um e escrevê-lo como um binômio quadrado, ( x – 10) 2 , deixando nossa equação assim: y + 125 = ( x – 10) 2 . Já completamos o quadrado! Tudo o que resta fazer é mover o 125 para o outro lado para que o quadrático fique na forma de vértice. Isso faz com que y = ( x – 10) 2 – 125 seja a mesma equação de antes, apenas expressa de forma diferente, e é nossa resposta final.
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Como observação: o preenchimento do quadrado também é frequentemente usado para resolver equações quadráticas. Se em vez disso, esse problema não dissesse complete o quadrado, mas resolva, e em vez de y tivéssemos um zero, teríamos obtido uma equação semelhante a esta: 0 = ( x – 10) 2 -125. Agora podemos simplesmente usar operações inversas para resolver x desfazendo 125, desfazendo o quadrado com uma raiz quadrada e desfazendo -1 com +1 para obter nossa resposta, assim: 1 +/- a raiz quadrada de 125 = x . Geralmente é para isso que você usará para completar o quadrado – uma maneira de resolver uma equação quadrática que não é fatoração ou a fórmula quadrática.
Embora possa ter parecido um processo muito longo, foi, na verdade, um exemplo direto. Embora o outro problema que resolveremos durante esta lição seja basicamente o mesmo, ele terá algumas complexidades que o tornam um pouco mais complicado.
Exemplo # 2
Em primeiro lugar, as direções serão um pouco diferentes: Se y = 6 x 2 + 30 x + 18 é expresso na forma y = a ( x – h ) 2 + k , qual é o valor de k ? Palavras diferentes, mas a mesma ideia. Agora, porém, uma vez que mudamos para a forma de vértice, a resposta é simplesmente o valor k e não a equação inteira. Mas tudo bem, mesma coisa.
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Tudo bem, então vamos começar. Imediatamente, há outra coisa que é diferente. Nosso a -valor não é 1. Hmm, ok. Bem, olhando para a forma vértice aqui, vejo que a um -valor é do lado de fora dos parênteses. Isso significa que teremos que fatorá-lo do trinômio antes de transformá-lo em um binômio quadrado perfeito. Felizmente, cada termo neste trinômio é divisível por três, portanto, não será tão ruim, mas às vezes não é o caso. Portanto, preciso dividir um 6 de cada termo do lado direito. Fazer isso nos deixa com o seguinte: y = 6 ( x 2 + 5 x + 3). Agora estamos prontos para verificar se nosso valor c segue o padrão. Isto’b / 2) 2 , que neste caso será (5/2) 2 . Uh oh, outro obstáculo. Teremos uma fração ou um decimal desta vez. Da última vez, nosso valor b era um número par, portanto, dividi-lo por 2 não foi um grande problema. Mas desta vez é estranho, tornando as coisas um pouco mais complicadas, mas ainda viáveis. (5/2) 2 , ou 2,5 2 , nos dá 25/4 (se quisermos usar frações) ou 6,25 (se quisermos usar decimais). Portanto, agora sabemos qual deve ser o nosso valor c . Vemos o nosso problema como ele está e percebemos que ainda não está lá (3 não é o mesmo que 6,25).
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Transformar nosso valor c atual , 3, em 6,25, exigirá que adicionemos 3,25 a ele, mas teremos que ser cuidadosos. Quando adicionamos 3,25 ao trinômio dentro dos parênteses, estamos na verdade adicionando 6 * 3,25 a todo esse lado da equação. Como tudo o que fazemos em um lado da equação, temos que fazer no outro, precisamos realmente adicionar 19,5 à esquerda, não apenas 3,25. Isso nos deixa com o seguinte: y + 19,5 = 6 ( x 2 + 5 x + 6,25). Tudo bem, estamos progredindo! Nosso trinômio está finalmente pronto para ser fatorado e, desta vez, vamos usar o atalho. Desde que tenhamos feito tudo certo, x 2 + 5 x + 6,25 deve ser fatorado como ( x+ 2,5) ( x + 2,5) porque 2,5 é a metade de nosso valor b , 5. Em seguida, compactando a forma fatorada como um binômio quadrado, ( x + 2,5) 2 e, em seguida, desfazendo 19,5 para escrever a equação na forma de vértice , assim, y = 6 ( x +2,5) 2 – 19,5, nos permite responder à pergunta ‘O que é k ?’ Bem, k é a constante no final, então k é -19,5.
Este último exemplo é quase o mais difícil possível para completar o quadrado. Felizmente, você se sente confiante o suficiente para experimentar os exemplos do questionário após este vídeo sozinho.
Resumo da lição
Para revisar, para completar o quadrado, precisamos alterar o valor c em nosso trinômio para ( b / 2) 2 . Se você tiver um -valor que não seja igual a 1, você precisará primeiro fatorar esse valor de cada termo no trinômio antes de continuar. Isso também significa que você terá que ter o cuidado de multiplicar por esse fator ao decidir quanto adicionar a ambos os lados ao definir o valor c como o valor correto. Se você terminar com um valor b estranho em seu trinômio, você acabará com frações ou decimais em sua resposta, mas tudo bem!
lições objetivas
Depois de terminar esta lição, você será capaz de completar o quadrado.