Resolvendo com Tabelas
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Vamos revisar algumas técnicas de integração. Aqui, vamos integrar a integral indefinida – o que significa que não tem limites – de f (x) dx . Sabemos que a integral de f (x) dx é igual à anti-derivada como uma função de x mais uma constante de integração. Se você pegar a derivada da anti-derivada, receberá de volta sua função original. Então, quais são algumas das maneiras que conhecemos para encontrar integrais?
Primeiro, podemos usar uma mesa. Pode ser uma tabela em um livro, online ou o que você memorizou. Por exemplo, o integral de x ^ 2 dx = (1/3) x ^ 3 + C . Você sabe disso porque sabe como integrar polinômios. O integral de sen ( x ) dx = -cos ( x ) + C . O integrante de e ^ (x) dx = e ^ (x) + C . Para cada um desses casos, se você tirar a derivada do lado direito, você acaba com o integrando . Isso é verdade para todas as integrais; é como você calcula uma integral.
Resolvendo por Substituição
A segunda maneira que conhecemos de calcular integrais é por substituição. Neste caso, vamos tomar uma integral que depende de x , e vamos fazer uma substituição onde u é igual a alguma nova função de x . Ao conectar u , esperamos obter uma integral mais simples que possamos integrar em relação a u . Por exemplo, temos o sin (2 x ) dx integral . Quero substituir u por 2 x , então u = 2 x e du = 2 dx . Posso conectá-los, tanto para 2 x quanto para dx, e minha integral torna-se 1/2 sin ( u ) du . Posso usar uma tabela para resolver isso, porque a integral de sin ( u ) é -cos ( u ). Recebo -1/2 cos ( u ) + C . Agora eu quero inserir 2 x onde tenho u – essa é minha substituição original – então recebo x de volta na minha resposta final. Recebo -1/2 cos (2 x ) + C . Se eu tirar a derivada disso, termino com sin (2 x ). Isso é resolver por substituição, e é de longe o que você mais usará ao resolver integrais à mão, mas existem alguns outros métodos dos quais você deve estar ciente.
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Resolução por partes
Um é a integração por partes. Aqui você tem a integral de udv = uv menos a integral de vdu . Este é apenas um rearranjo da regra do produto. Um exemplo seria a integral de xe ^ ( x ) dx . Aqui, vou definir x igual a uma nova variável, u de modo que du = dx . Vou definir e ^ ( x ) dx igual a dv , então v tem que ser igual a e ^ x porque a derivada de e ^ xé e ^ ( x ) dx . Se eu inserir u , v , du e dv no lado direito da minha equação para integração por partes, termino com xe ^ x (que é uv ) menos a integral de e ^ ( x ) dx (que é vdu ). Neste ponto, posso usar uma tabela em minha cabeça porque memorizei essa integral. A integral de e ^ ( x ) dx é e ^ x , então se eu conectar isso, minha integral se torna xe^ X – e ^ x + C . Se eu tirar a derivada, acabo com xe ^ x .
Resolvendo por Riemann Sums
A última maneira de resolver uma integral é por Riemann Sums. Esta não é uma forma analítica de resolvê-lo; isto é, você não terá mais números. Você vai resolver isso numericamente, em um computador ou calculadora – você vai inserir números reais.
Exemplo de resolução por peças
Vamos dar um exemplo. Digamos que você tenha a integral de x ^ 2 (sin ( x )) dx . Seu primeiro passo seria ver se você consegue se lembrar dessa integral ou procurá-la em uma tabela. Provavelmente, qualquer integral que você criar está em uma tabela ou não tem solução. Existem livros inteiros sobre como escrever integrais como este, todas as integrais possíveis que você pode imaginar que realmente têm soluções. Mas digamos que você não tenha esse livro à mão, então a primeira coisa que você tenta é a substituição: u = sin ( x ) e du = cos ( x ) dx . Isso não faz muito sentido, porque se você conectar sin ( x ), você obterá u, masx ^ 2 torna-se arcsin ^ 2 ( u ). Você acabou de tornar a vida um pouco mais complicada, então talvez essa não seja a melhor maneira de fazer isso. Como a substituição ainda é a primeira coisa que você deseja fazer, que tal usar u = x ^ 2 e du = 2 xdx . Isso é bom, mas você ainda tem sin ( x ), que se tornaria sin (raiz quadrada de u ) e isso parece muito complicado. Portanto, talvez a substituição não seja o método que você deseja examinar.
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Como você tem uma função multiplicada por outra função, talvez você possa fazer a integração por partes. Na integração por partes, vou definir esta primeira função, x ^ 2, igual a u . Isso deixa sin ( x ) dx como dv , porque lembre-se, a integral de udv = uv menos a integral de vdu . Então, minha integral tem que ser u vezes dv : se x ^ 2 = u , então sin ( x ) dx = dv . Se u = x ^ 2, então du = 2 xdx. Se dv = sin ( x ) dx , então v = -cos ( x ), porque se eu tirar a derivada de -cos ( x ), termino com sin ( x ) dx . Portanto, tenho u , v , du e dv . Se eu inserir tudo isso em minha equação para integração por partes, obtenho – x ^ 2 (cos ( x )) + a integral de cos ( x ) 2 xdx . (O ‘+’ vem do sinal menos de v combinado com o sinal menos em nossa equação.) Posso reescrever isso como – x ^ 2 (cos ( x)) + 2 vezes a integral de x (cos ( x )) dx . Na verdade, não sei a integral de x (cos ( x )) dx no topo da minha cabeça. Parece um pouco mais simples do que x ^ 2 (sin ( x )), mas ainda não é algo que eu simplesmente conheço.
Vamos dar uma olhada em toda esta equação: a integral de x ^ 2 (sin ( x )) dx = – x ^ 2 (cos ( x )) + 2 vezes a integral de x (cos ( x )) dx . Vamos fazer do primeiro termo uma cor diferente, para sabermos que é a partir da integração original por partes. Vamos pegar o segundo termo, 2 vezes a integral de x (cos ( x )) dx , e integrar isso por partes. Vou fazer a mesma coisa de novo. Em minha nova integração por partes, vou definir x igual a ue cos ( x ) dxigual a dv . Então du = dx e v = sin ( x ). Se eu conectar tudo isso na integração por partes, acabo com x (sin ( x )), que é uv , menos a integral de sin ( x ) dx , que é vdu . Eu estou quase lá. Agora eu posso pegar esse termo, dividi-lo e multiplicar o 2, então eu obtenho 2 x (sin ( x )) – 2 vezes a integral de sin ( x ) dx . Finalmente eu tenho uma integral, sin ( x ) dx , que eu conheço de cara. É apenas -cos (x ) + C .
Acabamos de trabalhar muito para encontrar isso, então vamos nos certificar de que fizemos isso corretamente e tirar a derivada do lado direito. Temos x ^ 2 (sen ( x )) dx = – x ^ 2 (cos ( x )) + 2 x (sen ( x )) + 2cos ( x ) + C . Vejamos um termo de cada vez. A derivada de – x ^ 2 (cos ( x )), pela regra do produto, é a primeira vezes a derivada da segunda mais a segunda vezes a derivada da primeira: – x ^ 2 (-sin ( x )) – 2 x (cos ( x ). Para o meu segundo termo, 2 x (sin (x ), para encontrar a derivada, terei de usar novamente a regra do produto. Eu recebo 2 x (cos ( x ) + 2sin ( x ). Está ficando cada vez mais longo aqui! E o terceiro termo, 2cos ( x ) + C ? A derivada disso é apenas -2sin ( x ) + 0, porque a derivada de uma constante é zero.
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Vamos escrever tudo isso. Tenho x ^ 2 (sin ( x )) – 2 x (cos ( x )) + 2 x (cos ( x )) + 2sin ( x ) – 2sin ( x ). Isto é fantástico. Os termos 2 x (cos ( x )) cancelam um com o outro e os termos 2sin ( x ) cancelam um com o outro. Portanto, toda a derivada é simplificada para x ^ 2 (sin ( x )), que era meu integrando original, então essa é de fato a integral de x ^ 2 (sin ( x )) dx .
Resumo da lição
Vamos revisar. No final do dia, você tem algumas ferramentas à sua disposição para resolver problemas de integração . Você pode resolver problemas apenas memorizando certas integrais. Essas são as integrais realmente comuns que você deseja obter do topo de sua cabeça, como sin ( x ), 1 / x e x ^ 2. Você também pode encontrar integrais em uma tabela , online ou em um livro.
Mas nem todas essas integrais podem ser encontradas em um desses lugares, seja em sua cabeça ou em alguma referência. Então você precisa usar algumas outras ferramentas, como por exemplo a substituição . Aqui você está pegando uma integral que depende de x , transformando-a em uma integral que depende de u e esperando que a nova integral seja mais fácil de resolver. Você também pode resolver por partes . É como usar a regra do produto ao contrário. Você também pode usar álgebra e trigonometria para simplificar seu integrando, f (x), em algo mais gerenciável. Ao usar trigonometria, você pode querer usar um tipo diferente de substituição com base nas regras de geometria e triângulos retângulos. Finalmente, se tudo isso falhar, você pode resolver uma integral definida numericamente . Ou seja, você pode calcular o valor de sua integral usando somas de Riemann.