Método de Newton
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Lembre-se de que o Método de Newton é uma maneira de encontrar as raízes de uma equação. Por exemplo, se y = f (x) , ajuda a encontrar um valor de x que y = 0. O Método de Newton, em particular, usa um método iterativo. Ou seja, você faz alguma suposição e a usa para encontrar outra suposição – uma suposição melhor. O método é apenas uma forma de linearização (estimativa). Você estima x sub ( n + 1) – essa é sua próxima estimativa – será igual à sua estimativa atual x sub n – y sub n / f ‘( x sub n) Ou seja, sua próxima estimativa é igual à sua estimativa atual menos o valor atual de y dividido pela derivada.
Neste exemplo, adivinhamos x sub 0, encontramos o valor de y em x sub 0 e o valor da derivada em x sub 0. Usamos essa informação para encontrar uma nova estimativa: x sub 1. Novamente, encontramos y em x sub 1, encontramos a derivada em x sub 1 e usamos essa informação para encontrar outra estimativa, x sub 2. E continuaremos até que nosso novo valor de x nos forneça y = 0.
Na prática, você vai começar com algum palpite inicial, x sub 0. Você vai encontrar a derivada, f ‘(x) de sua equação, e então você vai usar a equação de Newton para estimar x sub 1. Você vai estimar x sub 2 (usando x sub 1), e assim por diante, até que seus valores de x convirjam. Eles irão convergir para algum lugar onde y = 0. Isso geralmente funciona (não vamos entrar nos casos complexos em que o Método de Newton não funciona neste curso).
Então, como faço para usar o Método de Newton? Eu geralmente faço uma tabela para controlar todas as minhas variáveis. Aqui está minha mesa:
| x | y | y ‘ |
|---|
Tenho x em uma coluna, y em uma coluna e a derivada, y ‘, em outra. Eu faço meu primeiro palpite, que seria a primeira linha desta tabela. Vou fazer uma estimativa para x e vou inseri-lo. Em seguida, vou descobrir quais são y e y ‘para esse valor de x . Vou usar todas as informações da equação de Newton para encontrar a próxima linha (particularmente, o próximo x ). Vou continuar a partir daí.
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Resolvendo a Equação
Vamos fazer isso. Temos a equação f (x) = x ˆ2 + 3 x – 4. Quando faço um gráfico, sei que forma uma parábola. Já acho que pode haver duas raízes, e provavelmente posso resolvê-las manualmente; mas, neste caso, usarei o método de Newton.
Vou usar x = 0 para meu primeiro palpite. Usarei minha equação de Newton, x sub n +1 = x sub n – y sub n / f ‘( x sub n ). Eu também posso escrever isso como x sub n – f ( x sub n ) / f ‘( x sub n ), e tudo o que fiz foi dizer que f ( x sub n ) é o mesmo que y sub n. Vamos inserir nosso f (x) e nosso f ‘(x) nessa equação.
Primeiro, o que é f ‘(x) ? Vamos pegar a derivada de f (x) e eu obtenho 2 x + 3. Usei a regra de potência para diferenciar x ˆ2 como 2 x . Então eu tenho a derivada de 3 x , que é apenas 3.
Vamos plug-in f (x) e f ‘(x) em nossa equação Newton. Eu obtenho x sub n +1 = x sub n – ( x sub n ˆ2 + 3 x sub n – 4) / 2 x sub n + 3. Agora eu tenho uma equação. Eu só preciso da minha mesa e vamos embora.
Representando graficamente a equação
Então, aqui está minha mesa:
| x | y | y ‘ |
|---|
Vou usar uma estimativa inicial, x sub 0 = 0. Isso vai na primeira linha, 0 para x . Quando x = 0, f (x) (ou y ) é -4 e y ‘= 3. Vamos colocá-los na minha tabela também:
| x | y | y ‘ |
|---|---|---|
| 0 | -4 | 3 |
Vamos usar a equação de Newton para encontrar x sub 1. Se minha estimativa inicial x sub 0 = 0, coloco 0 na equação. Eu obtenho x sub 1 (meu próximo palpite) é 4/3. Vamos colocar isso na mesa. Digamos que seja cerca de 1,3. Se x for 1,3, posso encontrar y conectando 1,3 em meu f (x) e obtenho 1,8. y ‘(ao inserir 1,3 nesta equação) é cerca de 5,66.
| x | y | y ‘ |
|---|---|---|
| 0 | -4 | 3 |
| 1,3 | 1.8 | 5,66 |
Eu tenho meu segundo palpite, x = 1,3. Vamos ver o que isso nos dá se inserirmos na equação de Newton, x sub n +1 = 1,3 – (1,3ˆ2 + 3 (1,3) – 4) / 2 (1,3) + 3. Isso me dá meu próximo palpite; meu x sub 2 é 1,0. Se eu inserir 1 em f (x) , obtenho cerca de 0. Portanto, em x = 1, y = 0. Isso significa que x = 1 é a raiz desta equação. Usei o Método de Newton para encontrar a raiz desta equação!
| x | y | y ‘ |
|---|---|---|
| 0 | -4 | 3 |
| 1,3 | 1.8 | 5,66 |
| 1.02 | 0 |
Equações Complexas
Você pode fazer isso para equações ainda mais complexas, como y = ( x – 1) ˆ3 – 1. Agora, vou fazer uma estimativa inicial de x sub 0 = 0 e seguir o mesmo padrão. Minha derivada é 3 ( x – 1) ˆ2. Aqui está minha mesa:
| x sub n | x | y | y ‘ |
|---|---|---|---|
| x sub 0 | 0 | -2 | 3 |
Posso conectar isso para encontrar x sub 1. Eu tenho 0 – 3. Posso usar isso para encontrar x sub 1, (0 – (-2)) / 3. Isso me dá 2/3. Quando x = 0,67, obtemos o seguinte:
| x sub n | x | y | y ‘ |
|---|---|---|---|
| x sub 0 | 0 | -2 | 3 |
| x sub 1 | 0,67 | -1,04 | 0,33 |
Vamos usar x sub 1 para encontrar x sub 2. Vamos usar meus valores de x sub 1 para encontrar uma nova estimativa, uma para x sub 2. Vou inserir os valores da segunda linha para encontrar x sub 2 usando Equação de Newton, x sub 2 = x sub 1 – ( y sub 1 / f ‘( x sub 1)). Quando eu ligo os números, encontro o seguinte:
| x sub n | x | y | y ‘ |
|---|---|---|---|
| x sub 0 | 0 | -4 | 3 |
| x sub 1 | 0,67 | -1,04 | 0,33 |
| x sub 2 | 3,78 | 20,43 | 23,15 |
Agora, y não está chegando perto de 0 neste ponto, mas vamos continuar por mais um ou dois minutos. Acho isso na minha próxima iteração:
| x sub n | x | y | y ‘ |
|---|---|---|---|
| x sub 0 | 0 | -4 | 3 |
| x sub 1 | 0,67 | -1,04 | 0,33 |
| x sub 2 | 3,78 | 20,43 | 23,15 |
| x sub 3 | 2,9 | 5,81 | 10,77 |
Isso reduz y de 20 para 5, embora ainda não seja 0. Se eu continuar, eventualmente, em x sub 7, acho isso:
| x sub n | x | y | y ‘ |
|---|---|---|---|
| x sub 0 | 0 | -4 | 3 |
| x sub 1 | 0,67 | -1,04 | 0,33 |
| x sub 2 | 3,78 | 20,43 | 23,15 |
| x sub 3 | 2,9 | 5,81 | 10,77 |
| x sub 7 | 2,00 | 0,0001 | 3.0003 |
Eu vou dizer que x = 2 é uma raiz, porque eu arredondado x aqui, e o y , se eu fosse arredondar também, me daria 2. Com certeza, se eu colocasse 2 em meu inicial equação, obtenho (2 – 1) ˆ3 – 1. Isso é 1ˆ3 – 1, que é apenas 0; então, x = 2 é a raiz desta equação.
Revisão da lição
Vamos recapitular. O Método de Newton é meio complicado, mas não é tão difícil se você seguir um algoritmo muito simples. Primeiro, você vai fazer um palpite e chamá-lo de x sub 0. Você vai encontrar a derivada neste x sub 0, bem como o que y é igual a x sub 0. Você os conectará na equação de Newton para obter uma nova estimativa para x – chame isso de x sub 1. Repita esse processo até que seu valor de x forneça um y próximo de 0. Neste ponto, você terá encontrado uma raiz de sua equação; isto é, onde sua equação f (x) = 0. Para fazer isso, eu recomendo fortemente fazer uma tabela para controlar todos os seus valores.