Resolvendo com a Fórmula Quadrática
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Você acabou de passar o nível um de Furious Fowls , o jogo que pede para você lançar pássaros pela tela para se vingar daqueles porcos irritantes que roubaram seus ovos. Você aprendeu que poderíamos descobrir onde nosso pássaro atingiria o solo, resolvendo a equação quadrática dada onde é igual a 0. Isso exigia que fatorássemos a equação e então usássemos a propriedade de produto zero para determinar quais dois valores nos dariam 0.
Mas agora estamos no nível dois! Vai ficar mais difícil, mas seu objetivo ainda será o mesmo: use a equação dada a você na tela para ter certeza de que seu pássaro acertará o alvo na primeira tentativa. Tudo bem, então vamos lá; vamos prosseguir e adivinhar onde precisaremos lançar nosso pássaro desta vez. Eu acho que isso parece certo. Agora, vamos verificar nossa equação para ver se isso realmente funcionará ou não.
O jogo nos diz que nosso pássaro voará em uma parábola dada pela equação y = – x 2 + 4 x + 7. Como estamos novamente atirando em um porco no chão, estamos curiosos para saber onde esta equação é igual a 0, então, vamos substituir isso. Ok, agora precisamos tentar fatorar para encontrar x . Vamos dividir o negativo, deixando-nos com o seguinte: 0 = – ( x 2 – 4 x – 7). Agora procure um par de números que tenha um produto de -7 e uma soma de -4. Hmmm, isso não parece bom. Não acho que este trinômio possa ser fatorado. E agora? No nível um isso funcionou sempre, então nunca tivemos que fazer mais nada! Parece que teremos que aprender algumas novas habilidades.
A Fórmula Quadrática
Situações como esta, em que estamos tentando resolver um quadrático que não é fatorável, é para o que a fórmula quadrática foi feita! É um pouco longo e confuso, mas se você se lembrar, será capaz de resolver qualquer equação quadrática que exista!
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O Formulário Padrão
Você deve primeiro se lembrar da forma padrão de uma equação quadrática, y = ax 2 + bx + c . Isto irá dizer-lhe que o seu um , b e c valores são, mas então ele simplesmente se torna uma questão de colocar os números em lugares certos. Vamos ver se podemos fazer isso com sucesso para passar ao segundo nível dos Furious Fowls .
Identificando A, B e C
Voltando à equação original e identificar a , b e c deve ser o nosso primeiro passo. A está na frente de x 2 , onde há apenas um símbolo negativo. Isso significa que a é apenas -1. B é o número na frente de x s, o que o torna 4, e c é a constante no final, 7.
Usando a Fórmula Quadrática
Agora, podemos substituir esses valores na fórmula quadrática e avaliar a expressão resultante para encontrar nossas respostas! Embora isso seja teoricamente muito simples, existem alguns pontos que podem facilmente enganá-lo. Como esta é nossa primeira vez, vamos avaliar um passo a passo juntos e repassar alguns dos erros comuns. Teremos que lembrar nossa ordem de operações e nos certificar de também acompanhar todos os nossos sinais negativos.
Para este problema, então, a primeira coisa que teremos que cuidar é o expoente que vemos. O expoente que vejo é 2, o que significa um quadrado, o que significa multiplicar esse número por ele mesmo, então fazemos 4 * 4 para obter 16. Em seguida na ordem das operações virá a multiplicação. Fazer a multiplicação no interior da raiz quadrada (4 * -1 * 7) nos dá -28, então fazer a multiplicação na parte inferior da fração (2 * -1) é simplesmente -2. Agora ficamos com x = (-4 +/- √ (16 – (-28))) / -2, e vamos nos concentrar no interior da raiz quadrada no topo da fração.
O interior da raiz quadrada na fórmula é b 2 – 4 ac . Esta parte é uma das partes mais difíceis de avaliar e uma das partes mais fáceis de errar. Ele também tem um nome especial; é chamado de discriminante . Ele tem alguns recursos importantes sobre os quais falaremos em outras lições, mas para esta lição, você só precisa saber ter cuidado ao avaliá-lo, especificamente pelo motivo que estou prestes a mencionar. Observe que terminamos com um -28 depois de fazer a multiplicação, mas ainda tenho 16 – -28. Menos um negativo é mais um positivo, então 16 + 28 nos dá 44.
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Agora que temos a raiz quadrada de 44, gostaríamos de verificar se podemos calcular a raiz quadrada de 44 bem. Existe um número que, multiplicado por si mesmo, dá 44? Bem, 7 * 7 é 49, o que é bem parecido, mas não exatamente, e 6 * 6 é 36, então, novamente, não exatamente. Portanto, a raiz quadrada de 44 é um número irracional ; vai ser uma casa decimal muito longa. Isso significa que o que temos é, na verdade, uma resposta muito boa, mas há dois erros que os alunos tendem a cometer sem perceber que essa é uma resposta correta. Um desses erros é dividir o -4 pelo -2 para obter 2 +/- a raiz quadrada de 44. Isso não é permitido porque a raiz + 44 meio que atrapalha você fazendo essa divisão.
Outro erro é dividir o -4 e o 44 pelo -2 para nos dar (-4 / -2) +/- (raiz quadrada de 44 / -2). O problema com isso é que a divisão dentro de uma raiz quadrada como essa não é realmente permitida. Isso significa que o que temos aqui ( x= -4 + / – a raiz quadrada de 44 / -2) é na verdade a resposta mais matematicamente correta. Mas, como estamos fazendo uma estimativa, vamos alterá-lo para um decimal arredondando as respostas. A raiz quadrada de 44 está entre 6 e 7; na verdade, é cerca de 6,633. Isso significa que encontraremos nossas duas respostas fazendo -4 + 6,633 / -2 e também -4 – 6,633 / -2. Isso nos dá nossas duas respostas estimadas como -1,316 ou 5,316. Nossa resposta -1,316 é o que aconteceria se o estilingue quebrasse, então não estamos muito preocupados com isso. Mas acima de 5.316, parece que estamos muito perto de nosso objetivo, mas talvez um pouco aquém.
Talvez se nivelássemos nosso tiro um pouco, nosso pássaro pudesse voar um pouco mais longe. Talvez assim? Ok, aparentemente agora nossa equação é y = -3 x 2 + 15 x + 29, mas novamente queremos saber quando o pássaro vai cair no chão, ou quais são as raízes da equação. Isso significa que substituímos em y = 0 e começamos a pensar sobre de que maneira queremos resolver. Poderíamos tentar o método de fatoração aqui, mas esses números parecem muito confusos e também há uma boa chance de que não funcione de qualquer maneira, então vamos direto para a fórmula quadrática.
Isto significa identificar um , b e c da nossa forma quadrática padrão. Isso torna a igual a -3, b igual a 15 e c igual a 29. Agora é apenas uma questão de substituir cuidadosamente esses valores na fórmula quadrática e, em seguida, seguir a ordem das operações para chegar às nossas duas respostas. Substituir os números em ficará assim: x = -15 +/- (a raiz quadrada de 15 2 – 4 (-3) (29)) / 2 (-3).
Usando um valor B negativo
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Um outro erro comum que vejo os alunos cometem é bagunçar o valor de b na frente esquerda da fração. Na fórmula, é a – b , portanto, neste caso, 15 se transforma em -15. Mas muitas vezes o próprio valor b será negativo. Quando você tem um – be o conecta à fórmula, – – b tornará positivo novamente, então você deve ter cuidado com aquele b na frente.
De qualquer forma, passando para a avaliação, podemos começar com o expoente no interior – a parte b 2 do discriminante – e 15 2 nos dá 225. Em seguida, fazemos 4 * -3 * 29 para obter -348, e fazemos 2 * -3 para obter -6 na parte inferior. Novamente, transformar um menos negativo em mais um positivo tornará nosso discriminante igual a 573. A raiz quadrada de 573 é cerca de 23,937. Fazer -15 mais isso e dividir por -6 nos dará -1,489, e fazer -15 menos isso dividido por -6 nos dará 6,489.
Podemos nos concentrar novamente na resposta positiva, mesmo que a negativa seja uma solução matemática válida, e parece que essa vai funcionar! Estou me sentindo muito confiante; vamos deixar nossa ave furiosa voar … e hey-o! Conseguimos! Você já passou do nível dois de Furious Fowls e é muito bom em resolver quadráticas, mas está pronto para o nível três?
Resumo da lição
Vamos revisar rapidamente o que aprendemos no nível dois. Nem toda equação quadrática é fatorável, portanto, precisamos de outra maneira de resolvê-las. Insira a fórmula quadrática . Usando um , b e c da forma quadrática padrão, substituímos estes valores na fórmula e, em seguida, utilizar a ordem das operações para acabar com as nossas duas respostas.
lições objetivas
Depois de terminar esta lição, você será capaz de:
- Determine se uma equação quadrática é ou não fatorável
- Use a fórmula quadrática para resolver equações quadráticas