O Teorema de Pitágoras e Distância
Agora, eu gosto de tecnologia tanto quanto qualquer pessoa e sou conhecido por usar meu smartphone para me dizer como chegar ao supermercado a apenas quatro quarteirões de distância, mas mesmo assim, de vez em quando, gosto de acampar e fora do alcance do celular por alguns dias para ficar longe de tudo. Na verdade, recentemente fui escalar e subir a Divisória Continental perto de Boulder, Colorado com um bom amigo meu.
Estávamos planejando nossa rota para o dia e escolhemos um local em nosso mapa que parecia um lugar legal para passar a noite. O problema era que parecia meio longe, e não tínhamos certeza se conseguiríamos fazer isso em um dia. Além disso, nossos telefones não funcionavam e não podiam nos dizer a que distância estava. No mapa, estava na diagonal em relação a nós, o que significava que não podíamos simplesmente contar quantas caixas havia.
Isso significava que era hora de um bom teorema de Pitágoras antiquado: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Contando diretamente e depois para cima, tínhamos um triângulo retângulo, e a distância entre nós e o acampamento era apenas o comprimento lateral c . Alguns cálculos rápidos depois, e descobrimos que estávamos a cerca de 13,5 milhas de distância – não perto, mas factível!
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Agora, neste ponto da lição, você deve estar se perguntando: ‘Isso não deveria ser sobre a fórmula da distância?’ Por que estamos usando o Teorema de Pitágoras? Bem, mostro isso porque a fórmula da distância é, na verdade, apenas uma versão condensada do Teorema de Pitágoras. Leva todas as etapas que acabamos de fazer e as combina em uma fórmula.
Por transformar tantos passos em uma linha matemática, é na verdade uma fórmula bastante confusa e pode ser fácil cometer erros. Portanto, antes de mostrar a fórmula, gostaria que você visse de onde ela vem. Pense na fórmula da distância apenas como um atalho. Se você esquecer o atalho ou sentir que ele não é para você, você pode apenas usar o Teorema de Pitágoras – como eu mostrei a você.
A fórmula da distância
Então aqui está, a fórmula da distância :
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Agora, embora pareça uma grande confusão de letras e matemática, pense nisso como c = sqrt ( a ^ 2 + b ^ 2). A maneira como encontramos a na fórmula da distância é apenas fazendo ( x 2 – x 1), e a maneira como encontramos b é apenas ( y 2 – y 1). Isso é basicamente o que acabamos de fazer anteriormente, contando no mapa.
Então, se fossemos encontrar a distância até o acampamento com a fórmula desta vez, ficaria assim:
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( x 2 – x 1) seria apenas (1 – 8) e ( y 2 – y 1) seria (7 – 2). Esses dois pequenos problemas nos dão -7 e 5, e elevar os dois números ao quadrado nos dá 49 e 25. Parece familiar? Somando esses dois, obtemos 74 e, em seguida, obtendo a raiz quadrada, finalmente temos 8,6, exatamente como antes.
A única diferença entre este caminho e o teorema de Pitágoras era que tínhamos um -7 para alguns passos fazendo desta forma, enquanto era um +7 antes. Isso vai acontecer muitas vezes, mas não importa, porque quando o multiplicamos por ele mesmo (quando elevamos ao quadrado), torna-se positivo de qualquer maneira; o negativo vai embora.
E é isso! Essa é a fórmula da distância. Vamos apenas tentar alguns exemplos rápidos com a fórmula para lhe dar um pouco de prática.
Exemplo 1
Normalmente você verá os problemas declarados assim: Encontre a distância entre os pontos (5, 9) e (-2, 3). Agora, poderíamos apenas representar graficamente esses dois pontos, ir direto para cima para fazer um triângulo e, em seguida, usar a ^ 2 + b ^ 2 para encontrar c ^ 2, como o teorema de Pitágoras, mas vamos praticar usando a distância fórmula em vez disso.
Vamos começar por identificar x 1, x 2, y 1 e y 2 x 1 é o primeiro x valor e x 2 o segundo; mesma coisa para os y s. Agora, colocamos esses valores em seus lugares na fórmula, dando-nos o seguinte: d = sqrt ((- 2 – 5) ^ 2 + (3 – 9) ^ 2). Fazer a subtração nos deixa com -7 e -6. Então, elevar esses números ao quadrado transforma-os em 49 e 36. Somando-os, dá 85 e, em seguida, tirando a raiz quadrada nos dá nossa resposta em torno de 9,2.
Exemplo 2
Não é tão ruim, certo? Vamos fazer mais um para uma boa medida. Encontre a distância entre (-2, -1) e (2, -4). Novamente, comece identificando x 1, x 2, y 1 e y 2. Em seguida, substitua-os na fórmula: d = sqrt ((2 – (-2)) ^ 2 + ((-4) – (-1) ) ^ 2). Desta vez, temos que ser extremamente cuidadosos com nossos negativos. 2 – (-2) é como 2 + 2, o que nos dá 4, e -4 – (-1) é como -4 + 1, que é -3. Isso nos deixa aqui, com 4 ao quadrado e -3 ao quadrado no interior da raiz quadrada. Estes se transformam em 16 e 9, que somam 25, e a raiz quadrada de 25 é simplesmente 5.
Resumo da lição
E essa é a fórmula da distância ! Vamos revisar rapidamente o que aprendemos. A fórmula da distância é uma versão condensada do Teorema de Pitágoras ( a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2) e se parece com isto: d = sqrt (( x 2 – x 1) ^ 2 + ( y 2 – y 1) ^ 2). x 1, x 2, Y 1 e Y 2 são apenas a x e y coordenadas destes dois pontos. E, por fim, tenha cuidado ao inserir negativos na fórmula da distância. Às vezes, dois negativos resultam em um positivo.
Resultados de Aprendizagem
No final desta lição, você será capaz de:
- Explique como a fórmula da distância se relaciona com o Teorema de Pitágoras
- Identifique a fórmula da distância
- Calcule a distância entre os pontos usando a fórmula da distância