Equações quadráticas
Suponha que Brian esteja no driving range. Ele acerta uma bola de golfe de tal forma que sua altura em relação ao solo pode ser modelada com a seguinte fórmula:
Altura da bola = -16 x 2 + 100 x
Onde x é o tempo, em segundos, depois que ele bate na bola.
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Boa viagem! Ele fica curioso para saber quanto tempo a bola ficou no ar (ou quando a bola atingiu o solo). Bem, vamos ver aqui. A bola atinge o solo quando a altura é igual a zero, portanto, se apenas definirmos nossa fórmula igual a zero, teremos uma equação que podemos resolver para satisfazer sua curiosidade.
-16 x 2 + 100 x = 0
Este tipo de equação é denominado equação quadrática. Uma equação quadrática é uma equação polinomial, com o maior expoente 2, que pode ser colocada na forma ax 2 + bx + c = 0, onde a , b e c são constantes. Existem muitas maneiras de resolver equações quadráticas, mas nesta lição, vamos nos concentrar em um método, que é a representação gráfica.
Resolvendo equações quadráticas por meio de gráficos
A resolução de equações quadráticas pelo gráfico de tudo gira em torno do fato de que os pontos de interseção de dois gráficos são pontos que satisfazem ambas as equações representadas no gráfico. Portanto, se tomarmos uma equação quadrática e formos y 1 igual ao lado esquerdo da equação ey 2 igual ao lado direito da equação, então quando pudermos representar graficamente ambas as equações, os valores x de seus os pontos de interseção nos darão as soluções para a equação original.
Vamos esclarecer um pouco dividindo esse método de solução em etapas. Dada uma equação quadrática ax 2 + bx + c = d , tomamos as seguintes etapas para resolver por meio de um gráfico:
- Deixe- y 1 = ax 2 + bx + c e y 2 = d .
- Gráfico Y 1 e Y 2 no mesmo gráfico.
- Encontre os pontos de interseção dos dois gráficos. Os valores de x dos pontos de interseção são as soluções para sua equação.
- Verifique sua resposta com a equação original.
Isso não parece tão ruim. Vamos analisar a equação de Brian por estas etapas!
A equação de Brian é -16 x 2 + 100 x = 0, então vamos
y 1 = -16 x 2 + 100 x
y 2 = 0
Isso é bastante fácil! Próxima etapa, queremos representar graficamente as duas equações no mesmo gráfico. Você pode fazer isso manualmente ou usar uma calculadora gráfica. Usar uma calculadora gráfica tornará a etapa três muito mais fácil, como veremos em um minuto.
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Ainda não é tão ruim! Agora vem a parte complicada! Temos que encontrar os pontos de interseção dos dois gráficos.
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Se for óbvio no gráfico, podemos fazer isso visualmente. No entanto, isso deixa muito espaço para erro humano. Também poderíamos fazer isso algebricamente, mas para fazer isso, definiríamos as duas equações iguais uma à outra, obtendo -16 x 2 + 100 x = 0, e resolveríamos para x . Mas espere! Foi aí que começamos, e esta lição trata da solução por meio de gráficos. Nossa última e melhor opção é usar uma calculadora gráfica. Calculadoras gráficas podem representar graficamente suas equações para você e encontrar seus pontos de interseção – definitivamente a rota mais fácil! Obviamente, cada calculadora gráfica possui maneiras diferentes de encontrar pontos de interseção, mas o manual da calculadora deve explicar exatamente como fazer isso!
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Ótimo! Vemos que os pontos de interseção são (0,0) e (6,25,0). Uau, essa calculadora nunca torna as coisas fáceis! Temos nossa resposta! De acordo com isso, a bola de golfe está na altura de 0 a 0 segundos, quando ele atinge a bola pela primeira vez, e a 6,25 segundos, quando a bola atinge o solo, então a resposta à pergunta de Brian é que a bola está no ar por 6,25 segundos. Só para ter certeza, podemos verificar nossas soluções, x = 0 e x = 6,25, inserindo-as na equação original e nos certificando de que sejam uma afirmação verdadeira.
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Yay! Fizemos tudo corretamente!
Outro exemplo
Vamos considerar mais um exemplo. Suponha que a área de um jardim retangular que você está criando em seu quintal possa ser modelada pela fórmula x 2 + 2 x , onde x é a largura do jardim, em pés. Você deseja que a área seja de 35 pés quadrados, então você deseja resolver a equação x 2 + 2 x = 35.
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É uma equação quadrática! Vamos resolver fazendo um gráfico.
Passo 1:
y 1 = x 2 + 2 x
y 2 = 35
Etapa 2: represente graficamente as duas equações no mesmo gráfico.
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Etapa 3: Encontre os pontos de interseção.
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Parece que nossas soluções são x = 5 e x = -7. Podemos descartar a resposta negativa, pois estamos lidando com a largura. Isso nos diz que se o jardim tiver uma largura de 5 pés, a área será de 35 pés quadrados, conforme desejado. Mole-mole!
Resumo da lição
Uma equação quadrática é uma equação polinomial com o expoente dois mais alto, que pode ser colocada na forma ax 2 + bx + c = 0, onde a , b e c são constantes. Podemos resolver a equação quadrática ax 2 + bx + c = d por meio de gráficos usando as seguintes etapas:
- Deixe- y 1 = ax 2 + bx + c e y 2 = d .
- Gráfico Y 1 e Y 2 no mesmo gráfico.
- Encontre os pontos de interseção dos dois gráficos. Os valores de x dos pontos de interseção são as soluções para sua equação.
- Verifique sua resposta com a equação original.
Uma calculadora gráfica, junto com a execução desse processo passo a passo, realmente torna as coisas bastante simples – uma vantagem definitiva ao resolver problemas matemáticos!