Um sistema linear em três variáveis
Nesta vídeo-aula, falamos sobre sistemas lineares em três variáveis . Estas são coleções de três equações lineares em três variáveis. Cada uma de nossas equações terá três variáveis, mas nenhuma das variáveis terá expoentes com elas.
As variáveis mais comuns que veremos são as letras x , y e z . Embora tenhamos três variáveis, cada equação pode não ter todas as três listadas. Se não virmos uma variável listada, notamos que a variável tem um coeficiente zero.
Ao representar graficamente cada equação, você terminará com um plano plano. Quando os três planos se cruzam em um ponto, dizemos que o sistema tem uma solução que podemos resolver. Você encontrará esses sistemas conforme progride em sua matemática. Vamos tentar resolver um deles usando o que chamamos de método de eliminação:
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Vemos que temos um sistema linear de três equações em três variáveis. Vemos que a primeira equação contém três variáveis, mas a segunda e a terceira equações não. Na segunda equação, o coeficiente vinculado a z é 0; na terceira equação, o coeficiente vinculado ao y é a 0.
Método de Eliminação
O método de eliminação envolve combinar duas de nossas equações juntas para tentar eliminar pelo menos uma de nossas variáveis. Para combinar duas equações, podemos ter que multiplicar uma equação por um número particular de modo que, quando adicionarmos as duas equações, pelo menos uma das variáveis desapareça. Vamos ver como isso funciona com nosso sistema.
Observamos nossas equações e vemos que a primeira e a segunda equações têm um x . Posso multiplicar a segunda equação por -1 e, em seguida, adicioná-la à primeira equação de modo que x s desapareça. Multiplicando a segunda equação por -1 resulta – x – 2 y = -5. Adicionando isso à primeira equação, me dá – y + z = 1. Ok, até agora tudo bem. Eu tenho uma nova equação sem o x nela. Agora tenho um total de quatro equações com as quais posso trabalhar.
Vamos continuar. Desta vez, posso multiplicar minha primeira equação por -2 e, em seguida, adicioná-la à terceira equação para me livrar do x novamente. Multiplicando a primeira equação por -2 me dá -2 x – 2 y – 2 z = -12. Adicionando isso à terceira equação me dá -2 y – z = -7. Esta é outra nova equação. Agora tenho cinco equações totais que posso usar.
Agora vejo que minha quarta e quinta equações têm ay e a z . Eu olho para eles e vejo que posso adicioná-los imediatamente para me livrar do z . Então, adicionando-os, obtenho -3 y = -6. Ei, olha isso! Posso resolver facilmente essa nova equação!
Terminando o Problema
Para terminar o problema, primeiro resolveremos nossa última equação, -3 y = -6. Então, usaremos essa resposta para nos ajudar a encontrar o resto. Resolvemos -3 y = -6 dividindo por -3 para obter y = 2. Ótimo!
Posso inserir isso na quarta ou na quinta equação para encontrar meu z . A quarta equação parece mais fácil, então escolho esta para conectar meu y . Eu obtenho -2 + z = 1. Eu resolvo adicionando 2 a ambos os lados. Eu consigo z = 3. Incrível!
Agora posso terminar o problema, ligando tanto y e z para a primeira equação: x + 2 + 3 = 6. Subtraindo 2 e 3 de ambos os lados, eu recebo x = 1. Eu ter resolvido o meu sistema linear em três variáveis ! Minha resposta é x = 1, y = 2 e z = 3. Também posso escrever isso como (1, 2, 3).
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos agora. Sistemas lineares em três variáveis são coleções de três equações lineares em três variáveis. Em tal sistema, todas as equações terão três variáveis. Se uma variável não for vista, então essa variável tem um coeficiente zero. As variáveis mais comuns que você verá são x , y e z .
Para resolver esse sistema, podemos usar o método de eliminação. O método de eliminação envolve combinar pares de equações para que possamos eliminar pelo menos uma das variáveis. Para combinar equações, podemos ter que multiplicar uma equação por um número para que, quando ela for adicionada à segunda, pelo menos uma das variáveis desapareça.
Continuamos repetindo esse processo até chegarmos ao ponto em que temos uma equação com apenas uma variável. Em seguida, resolvemos essa equação para essa variável. Usamos essa resposta e a substituímos em outra equação que podemos resolver depois de corrigir a resposta. Em seguida, usamos nossas duas respostas para encontrar a terceira e última resposta. Nossa resposta final terá três números: um para x , um para y e um para z .
Resultados de Aprendizagem
Você deve ser capaz de fazer o seguinte após esta lição:
- Descreva um sistema linear em três variáveis
- Explique como resolver este sistema usando o método de eliminação