Um sistema de equações
Você está prestes a aprender como resolver um sistema de equações usando o método de eliminação. Um sistema de equações é um problema matemático que inclui mais de uma equação que você deve resolver. O método de eliminação é um método de solução em que você elimina variáveis para chegar à sua solução. Por que você deve aprender sobre este método? Saber como usar esse método lhe dará uma ferramenta extra de solução de problemas para usar em seus testes de matemática e talvez na vida real, quando você se deparar com esse tipo de problema. Isso é verdade especialmente se você decidir seguir uma carreira nas ciências. Cientistas, engenheiros e matemáticos precisam ser capazes de resolver todos os tipos de problemas no trabalho. Ser capaz de usar vários métodos de solução é uma habilidade crítica e necessária.
O número de equações que você terá em seu sistema de equações é determinado pelo número de variáveis que você possui. Você terá uma equação para cada variável. Portanto, se você tiver três variáveis, terá três equações, como neste problema:
2x + 2y – 2z = 2
-x + y + z = 3
y + z = 4
Observe as três equações e três variáveis. Agora vamos ver como usar o método de eliminação para resolver esse problema.
A Eliminação
O nome desse método informa o que você precisa fazer. Você precisa eliminar algo. O que é isso? É uma variável ou variáveis. O que você faz é escolher uma equação e escolher uma variável para eliminar. O objetivo aqui é eliminar todas, exceto uma das variáveis da equação escolhida. Para eliminar sua variável ou variáveis, você adiciona duas de suas equações. Você também pode ter que multiplicar suas equações por um número para que, ao somar as equações, a variável a ser eliminada seja realmente eliminada. Depois de ter uma equação com apenas uma variável, você pode resolver para essa variável. Você continua esse processo de eliminação novamente até que tenha resolvido todas as suas variáveis.
Olhando para as suas equações, você vê que, se multiplicar a sua segunda equação por 2, você pode adicioná-la à primeira equação para eliminar x e z . Multiplicando a segunda equação por 2, você obtém o seguinte:
2 * (- x + y + z = 3)
-2 x + 2 y + 2 z = 6
Adicionar isso à primeira equação dá a você:
{-2 x + 2 y + 2 z = 6} + {2 x + 2 y – 2 z = 2} = {4 y = 8}
Você eliminou duas de suas variáveis com apenas uma operação. Com outros problemas, pode ser necessário repetir este processo com outra equação para eliminar mais variáveis até que você fique com uma variável.
Resolvendo o problema
Você pode resolver facilmente 4 y = 8 para y agora.
4 y / 4 = 8/4
y = 2
Seu y é igual a 2. O que você pode fazer agora? Olhando para suas equações novamente, você vê que pode realmente usar a terceira equação agora e inserir y = 2 nela para resolver para z .
y + z = 4
2 + z = 4
2 + z – 2 = 4 – 2
z = 2
Seu z também é igual a 2. E agora? Agora, você pode inserir y = 2 e z = 2 na primeira equação para resolver para x .
2 x + 2 y – 2 z = 2
2 x + 2 (2) – 2 (2) = 2
2 x + 4 – 4 = 2
2 x = 2
2 x / 2 = 2/2
x = 1
Ah, você terminou! Seu x = 1, seu y = 2 e seu z = 2. Você resolveu todas as suas variáveis.
Exemplo
Vamos examinar outro problema.
2x + 3y – z = 12
3x + 2y = 12
-5y – z = -16
Novamente, temos três variáveis e três equações. Olhando para suas equações, você vê que se multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda equação por -2, você pode adicioná-las para eliminar a variável x . Como conseguimos esses dois números? Para que nossa variável x seja eliminada, o número na frente de x precisa ser o mesmo em ambas as equações. Portanto, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum de 2 e 3. Nesse caso, é 6. Um deles, porém, precisa ser negativo, daí a multiplicação de -2. Encontrar o mínimo múltiplo comum é abordado em outra lição.
Multiplicando a primeira equação por 3, você obtém o seguinte:
3 * (2 x + 3 y – z = 12)
6 x + 9 y – 3 z = 36
Multiplicando a segunda equação por -2, você obtém o seguinte:
-2 * (3 x + 2 y = 12)
-6 x – 4 y = -24
Adicionar 6 x + 9 y – 3 z = 36 e -6 x – 4 y = -24 juntos dá a você:
5 y – 3 z = 12
Olhando para esta equação e revisando suas três equações originais, você vê que pode realmente usar a terceira equação e adicioná-la a esta equação recém-criada para eliminar a variável y . Portanto, adicionar 5 y – 3 z = 12 e -5y – z = -16 resulta em:
-4 z = -4
-4 z / -4 = -4 / -4
z = 1
Você acabou de descobrir o que seu z é igual. Existe uma equação que você pode usar agora para ajudá-lo a resolver outra variável? Sim, você pode inserir z = 1 em sua terceira equação original para resolver para y .
-5 y – z = -16
-5 y – 1 = -16
-5 y – 1 + 1 = -16 + 1
-5 y = -15
-5 y / -5 = -15 / -5
y = 3
Agora você também encontrou y . Olhando para suas equações mais uma vez, você vê que agora pode inserir z = 1 ey = 3 na primeira equação para encontrar sua última variável.
2 x + 3 y – z = 12
2 x + 3 (3) – (1) = 12
2 x + 9 – 1 = 12
2 x + 8 = 12
2 x + 8 – 8 = 12 – 8
2 x = 4
2 x / 2 = 4/2
x = 2
Agora você está pronto! Sua resposta é x = 2, y = 3 e z = 1.
Resumo da lição
Vamos revisar o que você aprendeu agora.
Um sistema de equações é um problema matemático que inclui mais de uma equação que você deve resolver. O método de eliminação é um método de solução em que você elimina várias variáveis para chegar à sua solução. Para usar este método, você adiciona duas de suas equações para eliminar uma ou mais variáveis. Seu objetivo é chegar a uma equação com apenas uma variável. Você pode precisar multiplicar uma ou ambas as equações por um número para que, quando as equações forem adicionadas, uma ou mais variáveis sejam eliminadas. Depois de resolver para uma variável, você pode verificar se pode usar essa informação em uma de suas equações para resolver as outras equações. Você repete o processo de eliminação até que seja capaz de resolver todas as suas variáveis.
Resultado de aprendizagem
Ao terminar, você deverá ser capaz de resolver um sistema de equações usando o método de eliminação.