Números imaginários e complexos
Ao nos permitir imaginar que raízes quadradas de números negativos realmente existem, somos capazes de resolver muitos problemas do mundo real. Então, como isso realmente se parece? Como você resolveria um problema que tem uma solução imaginária? É disso que trata esta lição.
Você precisa se lembrar que os números imaginários surgem quando tiramos a raiz quadrada de um número negativo, e os números complexos acontecem quando combinamos um número real com um imaginário usando adição ou subtração. Se este é um novo conceito para você, então você deve verificar a lição anterior que apresenta essas idéias, mas se você já sabe disso, estamos prontos para olhar o exemplo ‘encontre as raízes de y = 2 x ^ 2 – 5 x + 7 ‘
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Quadratics with Complex Solutions
Quando um problema pede as raízes, é o mesmo que pedir os zeros ou os interceptos x . Esses são os pontos em que y = 0, portanto, podemos substituir esse valor em para começar.
Dado o fato de que estamos fazendo este exemplo na lição sobre soluções de números complexos, há uma boa chance de que esse problema tenha. Mas como poderíamos saber disso se o problema não estivesse neste contexto?
Tudo vai se resumir ao discriminador . Dada uma equação quadrática na forma padrão ( y = ax ^ 2 + bx + c ) , o discriminante é b ^ 2 – 4 ac . Se o discriminante for positivo, você obterá duas respostas reais. Se for igual a zero, você receberá apenas uma resposta real. Mas se o discriminante for negativo, você obterá duas soluções complexas para o seu problema.
Isso ocorre devido ao modo como a fórmula quadrática funciona. Se começarmos a resolver o exemplo usando a fórmula quadrática, conforme mostrado aqui, você poderá notar que o discriminante é a parte da fórmula que está dentro da raiz quadrada. Portanto, faz sentido que, se essa parte for negativa, obteremos um número imaginário ali, tornando nossa resposta um número complexo.
Então, de volta ao nosso exemplo, se substituirmos a , b e c na fórmula e, em seguida, começar a avaliar a expressão, vamos encontrar a vontade discriminante, com certeza, negativo se tornar. Você verá que terminamos com a raiz quadrada de -31, que será um número imaginário. Embora isso seja o que torna este problema novo e diferente, a única coisa especial a fazer é colocar um i na frente da raiz quadrada para indicar que é imaginário, fazer com que todo o resto no interior da raiz quadrada seja positivo e, em seguida, continuar como normalmente faríamos. É isso aí! O i diz a todos que é um número imaginário, mas então podemos seguir em frente e continuar a resolver o problema normalmente.
Acontece que não há mais nada a ver com esse problema; é tão simplificado quanto pode ser. Talvez se pudéssemos simplificar a raiz quadrada de alguma forma, poderíamos ter mais alguns passos, mas não podemos fazer isso, então estamos prontos!
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Polinômios com soluções complexas
Também podemos resolver problemas polinomiais com soluções imaginárias maiores do que equações quadráticas. Veja este exemplo: Solve 0 = ( x – 9) ^ 2 * ( x ^ 2 + 9).
Esta não é mais uma equação quadrática porque existem dois x ^ 2s (aqui e aqui). Não temos nenhuma fórmula extravagante para esses problemas, como temos para os quadráticos, mas, devido à forma como este foi escrito, ainda podemos resolvê-lo.
Vamos usar a propriedade de produto zero para este. Essa é a propriedade que diz que sempre que você multiplica duas coisas juntas e obtém zero, uma das coisas que você multiplicou no início deve ter sido zero. Nesse problema, isso significa que ( x – 9) ^ 2 ou ( x ^ 2 + 9) deve ser zero. Agora que dividimos a equação, temos duas equações menores que sabemos resolver simplesmente com operações inversas.
Obter ox sozinho neste primeiro significa desfazer uma potência de 2 com uma raiz quadrada. A raiz quadrada de zero ainda é apenas zero, então isso nos deixa aqui. Agora, desfazer -9 com +9 nos diz que x = 9.
Passar para a outra equação requer que desfaçamos etapas semelhantes, apenas em uma ordem diferente. A coisa mais externa aqui é o +9, então temos que desfazer isso primeiro. Isso nos deixa com x ^ 2 = -9, e então, novamente, pegamos a raiz quadrada de ambos os lados para obter x por si só. Quando obtemos a raiz quadrada de um número diferente de zero, precisamos incluir a raiz positiva e a negativa, o que nos dá duas respostas aqui.
Também calculamos a raiz quadrada de um número negativo, o que significa que também temos soluções imaginárias! Isso significa colocar um i na frente da raiz quadrada e continuar normalmente, como antes. Desta vez, podemos ir mais longe porque a raiz quadrada de 9 é apenas 3. Isso torna nossas outras duas soluções aqui 3 i positivas e 3 i .
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Embora este vídeo seja sobre como resolver problemas com números complexos, porque a única coisa que você faz é adicionar um i e continuar normalmente, é mais uma revisão de antigas habilidades de resolução. Contanto que você mantenha isso em mente e não pense que os números complexos exigem que você faça algo realmente radical, você deve ser bom.
Resumo da lição
Para revisar: o discriminante ( b ^ 2 – 4 ac ) dirá se você tem soluções reais ou complexas para uma equação quadrática na forma padrão. Quando você precisar tirar a raiz quadrada de um número negativo, basta colocar um i na frente dele, fazer o número interno positivo e continuar normalmente. Você pode resolver problemas polinomiais de ordem superior usando a propriedade de produto zero , que diz que quando você multiplica duas coisas juntas e obtém zero, uma das coisas com que você começou deve ter sido zero.
lições objetivas
Depois de terminar esta lição, você será capaz de:
- Use o discriminante para dizer se você tem soluções reais ou complexas para uma equação quadrática
- Tire a raiz quadrada de um número negativo
- Resolva problemas polinomiais de ordem superior usando a propriedade de produto zero