O que é o teorema de Pitágoras?
Os triângulos retângulos têm sido algumas das formas mais interessantes que a geometria estudou. Na verdade, à medida que você avança na matemática, você descobrirá que existe uma matéria inteira dedicada ao estudo das proporções de seus ângulos e comprimentos. Mas ainda não chegamos lá.
Em vez disso, estamos interessados apenas em uma razão que faz uso de todos os três lados de um triângulo – o Teorema de Pitágoras . Batizada em homenagem ao antigo filósofo grego Pitágoras, a teoria é bastante simples e direta. a ^ 2 + b ^ 2 será igual a c ^ 2. Dito de outra forma, se você elevar ao quadrado os dois lados mais curtos de um triângulo retângulo e adicioná-los, obterá o quadrado da hipotenusa.
Nesta lição, não apenas aprenderemos mais sobre como ele funciona, mas veremos como podemos usá-lo para encontrar tanto a hipotenusa de um triângulo retângulo quanto a medida de um dos lados mais curtos.
Por que isso funciona?
Mas, primeiro, por que sabemos que o Teorema de Pitágoras funciona mesmo? Para isso, vamos precisar de alguns cubos. 50, para ser mais preciso. Faça três peças maiores, uma com 9 cubos como um quadrado, outra com 15 peças como um quadrado e a última com 25 peças como um quadrado. Pegou eles? Boa. Agora faça um triângulo com eles. Você verá que aquele com as 25 peças forma a hipotenusa do triângulo, enquanto as outras duas formam os lados.
E qual é a medida desses lados? 3, 4 e 5. Ok, então é um truque útil, mas como podemos ter certeza de que funciona? Para isso, precisaremos de mais cubos. Se você quiser continuar brincando com eles, tente estes triângulos, por exemplo: 6, 8, 10; 7, 14, 15; 33, 44, 55; ou, se você estiver se sentindo realmente com sorte: 37, 684, 685. Você realmente deseja contar todos esses blocos? Achei que não, então aceite minha palavra!
Como o usamos?
Agora que sabemos que funciona, como vamos usá-lo? Simplificando, basta inserir os números que conhecemos. Por exemplo, vamos provar aquele triângulo massivo de antes – o triângulo 37, 684, 685. Conecte-os em sua fórmula de a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Isso significa 37 ^ 2 + 684 ^ 2 = 685 ^ 2. Caso você esteja curioso, esses números acabam sendo 1.369 + 467.856 = 469.225. Isso acontece para somar 469.225, o que significa que o triângulo em questão é definitivamente um triângulo retângulo.
Agora que o usamos para provar que um triângulo é um triângulo retângulo, vamos trabalhar com alguns exemplos que nos mostram como encontrar a hipotenusa ou um dos lados.
Encontrando a Hipotenusa
Digamos que você esteja tentando encontrar a hipotenusa de um triângulo com lados de 16 e 63. Você sabe que é um triângulo retângulo, então como você encontra o comprimento da hipotenusa? Vamos inserir o que sabemos. Lembrar um e b representam os lados mais curtos do triângulo, de modo que os meios de ^ 2 + b ^ 2 torna-se 16 ^ 2 + 63 ^ 2 = C ^ 2. Isso se reduz para 256 + 3.969 = c ^ 2, ou 4.225 = c ^ 2.
Para resolver c , simplesmente obtemos a raiz quadrada de ambos os lados. A raiz quadrada de c ^ 2 é apenas c , enquanto a raiz quadrada de 4.225 é 65. Isso significa que a hipotenusa desse triângulo tem um comprimento de 65.
Encontrando um lado mais curto
Isso foi bastante direto, mas e as situações em que você tem o comprimento da hipotenusa e um dos lados. Como você encontra o outro? Nesse caso, simplesmente resolvemos para a ou b . Não importa qual, pois você pode mudar de ideia sobre se um lado é a ou b , desde que seja consistente.
Então, vamos olhar para um triângulo com uma hipotenusa de 41 e um lado mais curto de 9. É um triângulo retângulo, então como encontramos o lado que falta? Vamos voltar à nossa fórmula: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Isso é configurado para resolver para c , mas sabemos c . Em vez disso, vamos configurá-lo para resolver para um dos lados, neste caso a . Novamente, não importa se você escolhe a ou b .
Então, a ^ 2 = c ^ 2 – b ^ 2, já que tivemos que subtrair b ^ 2 de ambos os lados para obter a ^ 2 sozinho. Agora conecte seus números. c torna-se 41 eb torna-se 9. Na fórmula, isso significa que a ^ 2 = 41 ^ 2 – 9 ^ 2. Que simplifica a 1.681 – 81, ou um ^ 2 = 1.600. Tire a raiz quadrada e você obtém a = 40.
Observe que nem sempre você pode obter números redondos de forma limpa como esses. Isso não importa; contanto que você siga o procedimento, você ainda obterá a resposta certa!
Resumo da lição
Nesta lição, aprendemos sobre o teorema de Pitágoras e também como usá-lo para encontrar a hipotenusa ou o lado mais curto de um triângulo retângulo. Lembre-se de que o teorema de Pitágoras afirma que a soma dos quadrados dos dois lados curtos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da hipotenusa. Muitas vezes, nós escrevemos isso como um ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2, onde a e b são os dois lados curtos e c é a hipotenusa. Lembre-se de que ele só funciona em triângulos retângulos, mas pode ser usado para encontrar o terceiro lado, desde que dois outros lados sejam conhecidos.