A Matriz de Identidade
Nesta vídeo-aula, falaremos sobre matrizes inversas, mas antes de introduzirmos matrizes inversas, precisamos saber sobre a matriz identidade. A matriz de identidade é a matriz quadrada que tem uns na diagonal e zeros em todos os outros lugares. Pense na matriz de identidade como o número 1 no mundo da matriz. Todos estes são exemplos de matrizes de identidade:
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Você vê como cada uma dessas matrizes de identidade são todas quadradas, o que significa que têm o mesmo número de linhas e colunas? Além disso, todos os números são 0, exceto os números que constituem a diagonal, que são todos 1s. A diagonal é a linha que começa na parte superior esquerda da matriz e termina na parte inferior direita.
Elas são chamadas de matrizes de identidade porque as matrizes que são multiplicadas por sua matriz de identidade de tamanho correspondente produzirão a matriz original. Rotulamos uma matriz de identidade com I maiúsculo. Assim, a matriz A multiplicada por sua matriz de identidade I será igual à matriz A.
The Inverse Matrix
Agora que cobrimos a matriz de identidade, podemos agora falar sobre a matriz inversa. Rotulamos matrizes inversas com um sobrescrito de -1. Portanto, a matriz inversa é definida como a matriz inversa que atende aos critérios de A * A sup -1 = I, onde A representa uma matriz A, A sup -1 representa o inverso da matriz A e I representa a identidade matriz.
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Sim, se multiplicarmos uma matriz pelo seu inverso, obteremos a matriz identidade como nossa resposta. É exatamente como quando multiplicamos um número inteiro pelo seu inverso, obtemos o número 1. Por exemplo, 1/9 é o inverso de 9. Quando os multiplicamos, obtemos 1. Também podemos escrever 1/9 como 9 sup -1.
Matrizes inversas são importantes no mundo das matrizes porque não podemos dividir no mundo das matrizes. Mas, ao usar uma matriz inversa, estamos essencialmente nos dividindo. Para vincular isso ao mundo real, pense no inverso do número 9, 1/9. Não estamos dividindo por 9?
Outra coisa importante a se notar sobre as matrizes inversas é que nem todas as matrizes terão uma matriz inversa. Essa é apenas a natureza do mundo da matriz. Assim como não podemos dividir matrizes, nem sempre podemos encontrar uma matriz inversa.
Encontrando a Matriz Inversa
Para encontrar o inverso de uma matriz particular, vamos escrever nossa matriz e sua matriz de identidade de tamanho correspondente uma ao lado da outra em uma grande matriz. [A | EU]. Então, vamos usar operações de matriz para transformar a primeira matriz na matriz de identidade. O que costumava ser a matriz de identidade no lado direito agora será a matriz inversa. [I | A sup -1]. É como mágica matemática! Simplesmente funciona! Fornecer uma prova desse método, entretanto, está além do escopo desta lição. Vamos ver como isso é feito com um exemplo, então.
Tentaremos encontrar a matriz inversa desta matriz:
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Então, primeiro escrevemos essa matriz ao lado de sua matriz de identidade de tamanho correspondente.
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Temos uma grande matriz.
Usando Operações Matrix
Agora podemos usar operações de matriz para transformar a primeira metade desta matriz em uma matriz de identidade. O que queremos realizar é transformar todos os números que não estão na diagonal em zeros e todos os números na diagonal em uns. Suas operações de matriz podem estar em uma ordem diferente da minha, mas o resultado final será sempre o mesmo se feito corretamente.
O que vou fazer é primeiro adicionar a segunda linha à terceira linha para obter uma nova terceira linha. Eu obtenho 0, 0, 1, 0, 1, 1. Agora, vou multiplicar esta nova terceira linha por -3 e adicioná-la à linha superior para obter uma nova linha superior. Multiplicando a terceira linha por -3, obtenho 0, 0, -3, 0, -3, -3. Adicionando isso à linha superior, obtenho 1, 0, 0, 1, -3, -3 para minha nova linha superior. Minha última etapa para transformar o lado esquerdo dessa matriz em uma matriz de identidade é dividir a segunda linha por 2. Fazendo isso, obtenho 0, 1, 0, 0, 0,5, 0 para minha nova segunda linha. Agora que transformei o lado esquerdo da matriz em uma matriz de identidade, o lado direito fornece minha matriz inversa. Minha matriz inversa é esta.
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E eu terminei. Eu encontrei minha matriz inversa.
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos agora. Aprendemos que a matriz de identidade é a matriz quadrada que tem uns na diagonal e zeros em todos os outros lugares, e uma matriz inversa é definida como a matriz inversa que atende aos critérios de A * A sup -1 = I, onde A está para uma matriz A, A sup -1 representa o inverso da matriz A e I representa a matriz identidade. Podemos comparar nossa matriz de identidade como o número 1 do mundo da matriz. Assim como qualquer coisa multiplicada por 1 é ela mesma, o mesmo ocorre com a matriz de identidade. Uma matriz multiplicada por sua matriz de identidade correspondente é ela mesma.
Para encontrar o inverso de uma matriz, montamos uma grande matriz combinando nossa matriz com sua matriz identidade. Escrevemos nossa matriz à esquerda e a matriz identidade à direita. Realizamos operações de matriz para virar o lado esquerdo da matriz de identidade. O lado direito resultante será nossa matriz inversa. É importante aprender sobre as matrizes inversas porque atuam como divisão no mundo das matrizes. Usando uma matriz inversa, podemos resolver equações que envolvem matrizes.
Resultados de Aprendizagem
Use o conhecimento que você desenvolve ao estudar esta lição para:
- Defina a matriz de identidade e forneça exemplos
- Caracterize a matriz inversa
- Destaque as etapas necessárias para encontrar o inverso de uma matriz com operações de matriz