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Como resolver integrais usando substituição

Quando você está tentando encontrar uma integral definida ou indefinida, as coisas podem não ser particularmente claras e você não pode simplesmente procurar em uma tabela o tempo todo. Para encontrar a integral ou a área sob a curva, você precisa de mais algumas ferramentas.


As etapas para usar substituição para resolver integrais
Etapas de substituição U

Revisão da regra da cadeia

A primeira ferramenta é a regra da cadeia . Lembre-se de que se tivermos uma derivada de uma função composta como d / dx ( f (g (x) )), às vezes a escrevemos como d / dx ( f (u) ), onde u é g (x) , então u é uma função de x . Em seguida, o seu derivado se torna f`u * du / dx , que é igual a f `( u ) u `. Portanto, estamos pegando a derivada da função externa e multiplicando-a pela derivada da função interna.

Também sabemos que você usa a regra da cadeia para derivadas sempre que vê parênteses , bem como para funções compostas . Uma função composta é como quando você pega um pouco de carne e a coloca em uma função para fazer um hambúrguer. Então você coloca aquele hambúrguer em uma função para fazer um hambúrguer. Então, você coloca a função de fazer um hambúrguer na função de fazer um hambúrguer. Você coloca carne e tira um hambúrguer. Como isso se relaciona com a integração?

Bem, se ao usar a regra da cadeia você escrever d / dx * f (u) = f `( u ) u` e integrar os dois lados, você terminará com a integral de ( f `( u ) u` ) dx = f (u) . Portanto, isso é igual à nossa função original. Hmm, o que isso significa? Isso significa que você pode resolver por algo chamado substituição.


Resolvendo o primeiro problema de exemplo de substituição u
Exemplo de Substituição U 1

Resolvendo por Substituição U

Vamos substituir algo pela função interna em nossa função composta. Deixe-me explicar. Você vai tomar uma integral f ( g (x) ), que é uma função composta, vezes g` (x) (a derivada de dentro, a função ‘formadora de bolo ‘), vezes dx . Isso é igual à anti-derivada de sua função avaliada em g (x) ou F ( g (x) ). E se esta é uma integral indefinida, você está indo para adicionar uma constante de integração, C .

Então como você faz isso? Primeiro, você vai fazer o que é chamado de substituição e vai dizer que há alguma função, u , que é igual ag (x) . Então você vai tirar a derivada de u – que é du – que é igual a g` (x) dx . Depois de fazer a substituição, você encontrará a anti-derivada de sua função f . Finalmente, uma vez que você tenha a anti-derivada, você vai substituir u de volta em sua função e isso deve lhe dar a integral de sua função original. Certifique-se de verificar. Então, o que tudo isso significa? Vamos dar um exemplo.

Exemplos de substituição em U

Digamos que temos a integral de 3 e ^ 3 x * dx . Existem alguns parênteses implícitos aqui, em torno de 3 x . Vou substituir minha variável u por 3 x , u = 3 x . Em seguida, vou tirar a derivada de u , diferenciando isso em relação a x , e escrever du = 3 dx . Então, vou usar essas duas substituições em minha integral original. Portanto, tenho a integral 3 e ^ (3 x ) dx , que posso reescrever como a integral de e ^ (3 x) 3 dx . Bem, 3 dx é igual a du , e e ^ (3 x ) é o mesmo que e ^ u , porque u = 3 x ; foi assim que eu o defini.


Verificando a resposta no primeiro problema de exemplo de substituição u
Verificando U Substituição Exemplo 1

Portanto, minha nova função é e ^ u , e estou integrando com relação a você agora. Vamos realmente fazer essa integral. O integrante de e ^ u * du é apenas de e ^ u + alguma constante C . Temos nossa constante porque esta é uma integral indefinida e temos e ^ u porque eu sei que a derivada de e ^ u é e ^ u e a integral de e ^ u é e ^ u. É essa função que nunca muda. Ok, agora eu tenho tudo em termos de você . Vamos nos livrar do u substituindo u = 3 x nesta equação, e eu recebo e ^ (3 x ) + C . Ao usar o que é chamado u substituição, eu ter resolvido o integrante do 3 e ^ (3 x ) dx como e ^ (3 x ) + C . Mas antes de prosseguir e dizer que isso está certo, vamos verificar a resposta.

Verificando a Substituição U

Vamos dar o derivado de e ^ (3 x ) + C . Então d / dx ( e ^ (3 x ) + C ) é igual a derivada de e ^ (3 x ) + o derivado de C . A derivada de uma constante é 0. Para a derivada de e ^ (3 x ), tenho que usar a regra da cadeia. Então eu obtenho a derivada de fora, e ^ (3 x ), vezes a derivada de dentro, d / dx (3 x ). Se eu pegar essa derivada, obtenho 3 e acabo com 3 e^ (3 x ). O que obtive tomando a derivada do lado direito é igual à minha função no lado esquerdo, dentro da integral, meu integrando. Isso é bom! Se não fosse a mesma função, isso significaria que errei em algum lugar. Isso é um bom sinal.

Vamos tentar outro. Vamos tentar a integral de sin (3 x ). Então, eu tenho parênteses em torno de 3 x . Vamos substituir u , então u = 3 x . Se u = 3 x , então a derivada de u , que chamarei de du , é igual a 3 dx . Agora não tenho 3 dx em minha equação original para substituir, então vou resolver a equação para dx dividindo os dois lados por 3. Eu obtenho dx = 1/3 ( du ). Vamos conectar isso para dx na minha equação original, e vamos conectar u para 3x . Agora posso integrar isso. É apenas 1/3 da integral de sin ( u ) du . O integrante do seno de algo é apenas cosseno menos, de modo que este se torna integrante 1/3 (-cos ( u )) + C . Se eu ligar o que eu tinha para u então eu se livrar de todo o meu u s, eu acabar com 1/3 (-cos (3 x )) + C – porque esta é uma integral indefinida eu vou fazer certifique-se de adicionar a constante no final. E I têm resolvido o integral: sen (3 x ) dx = -1/3 (cos (3 x )) + C .


Encontrar a resposta no problema do exemplo final
Exemplo de Substituição U 2

Vamos verificar. Vamos dar o derivado de -1/3 (cos (3 x )) + C . Eu obtenho -1/3 * d / dx (cos (3 x )) + 0, porque a derivada de uma constante é 0. Vou ter que usar a regra da cadeia e obtenho -1/3 (- sin (3 x )), que é a derivada da função externa, vezes a derivada, d / dx , de 3 x . A derivada de 3 x é apenas 3, então acabo com, cancelando os 3s, sin (3 x ). Isso corresponde ao meu integrando inicial, então parece que eu não estraguei tudo.

Resumo da lição

Para essas substituições menores, tudo o que fizemos foi reverter a regra da cadeia . Substituímos nossa função interna por u e escrevemos du como a derivada de u vezes dx . Então u = g (x) , essa é nossa função interna, e du é g ` dx . Então encontramos a anti-derivada de nossa nova função que dependia de u , f (u) . Assim que descobrimos isso, conectamos u = g (x) de volta em nossa anti-derivada para encontrar a anti-derivada de nossa função original em relação a x. Finalmente, verificamos tudo para ter certeza de que, se pegássemos a derivada de nosso resultado, acabaríamos com o integrando de nossa integral original.