Equação perfeitamente cubada
Uma equação perfeitamente ao cubo é uma equação onde você tem um valor ao cubo menos ou mais outro valor ao cubo. Em termos de álgebra, dizemos que uma equação perfeitamente ao cubo terá a forma a ^ 3 – b ^ 3 = 0 ou a ^ 3 + b ^ 3 = 0. Um exemplo de uma equação perfeitamente ao cubo é x ^ 3 – y ^ 3 = 0.
8 x ^ 3 + 64 = 0 é outro exemplo. Você vê como esta última equação é uma equação cúbica? Este é um pouco complicado, mas se reescrevermos em termos de cubos, você verá como esta também é uma equação perfeitamente cubada. Podemos reescrever o 8 como 2 ^ 3 e podemos reescrever o 64 como 4 ^ 3 para obter 2 ^ 3 * x ^ 3 + 4 ^ 3 = 0. Como o 2 e o x são ambos ao cubo, podemos combiná-los juntos para obter (2 x ) ^ 3 + 4 ^ 3 = 0. Agora você vê como temos um valor ao cubo mais outro valor ao cubo?
Outra maneira de pensar em equações cúbicas é apenas pensar em dois cubos e no que é necessário para encontrar os volumes deles. Lembre-se que o volume de um cubo é calculado multiplicando seu comprimento, largura e altura. Como eles são todos iguais, você só precisa multiplicar um lado três vezes. Você acaba cortando um dos lados, s ^ 3. Assim, uma equação perfeitamente cubada terá o volume de um cubo menos ou mais o volume de outro cubo. Você terá um expoente de 3 no primeiro e no segundo termo depois de reescrever sua equação para que inclua os expoentes.
Por que você precisa saber como resolver esses tipos de equações? Bem, você verá esses tipos de equações em seus testes e em problemas de física. Você saberá como resolvê-los facilmente com as fórmulas que aprenderá nesta vídeo-aula. Então, vamos continuar.
As Fórmulas
Temos uma fórmula quando temos um sinal de menos entre os cubos. Chamamos a forma menos a diferença dos cubos . A fórmula para a forma menos é esta: a ^ 3 – b ^ 3 = ( a – b ) ( a ^ 2 + ab + b ^ 2).
A forma mais é chamada de soma dos cubos , e a fórmula para essa forma é a seguinte: a ^ 3 + b ^ 3 = ( a + b ) ( a ^ 2 – ab + b ^ 2).
Olhando para essas duas formas, você pode ver que elas são praticamente iguais, exceto pelos sinais de menos e mais. Tente conectar esses sinais aos sinais que você vê em sua equação. O primeiro conjunto de parênteses são nossos dois valores com o mesmo sinal de nossa equação original. Se nossa equação original tiver um plus, então será um plus. Se for um menos, isso também será um menos.
O próximo conjunto de parênteses começa com nosso primeiro valor ao quadrado. Então será o sinal oposto do que está em nossa equação original. Portanto, se nosso original for um sinal de mais, esse será um sinal de menos. Se for um sinal de menos, será um sinal de adição. Em seguida, vêm nossos dois valores multiplicados um pelo outro. Então temos um mais para o nosso segundo valor ao quadrado. O último termo é sempre adicionado.
Agora vamos ver essas duas fórmulas em ação.
A diferença dos cubos
Digamos que queremos resolver x ^ 3 – y ^ 3 = 0, que é uma diferença de cubos. Primeiro percebemos que esta é uma diferença de cubos por causa do menos, então usaremos a fórmula da diferença de cubos, que é a ^ 3 – b ^ 3 = ( a – b ) ( a ^ 2 + ab + b ^ 2 ) Em seguida, precisamos descobrir qual é a e qual é b .
Para nosso primeiro termo, vemos um x sendo ao cubo, o que me diz que nosso a é x . Nosso segundo termo é a y ao cubo, então nosso b é y . Agora posso simplesmente inserir esses valores em nossa fórmula e resolver. Estou ligando x para um e y para b . Vamos ver o que temos.
x ^ 3 – y ^ 3 = ( x – y ) ( x ^ 2 + xy + y ^ 2)
Agora vamos resolver nosso primeiro conjunto de parênteses e o segundo conjunto de parênteses para encontrar nossas respostas. Definimos ambos iguais a 0 para encontrar nossas respostas.
x – y = 0 e x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 0
Estamos resolvendo x . Portanto, nosso primeiro conjunto de parênteses nos dá x = y quando movemos y adicionando-o a ambos os lados. Para resolver nosso segundo conjunto de parênteses, precisamos usar o que sabemos sobre a resolução de equações quadráticas. Esta equação particular requer o uso da fórmula quadrática para nos ajudar. Lembramos que a fórmula quadrática é x = (- b +/- sqrt ( b ^ 2 – 4 ac )) / 2 a .
Comparando isso com nossa equação, vejo que meu a é 1, meu b é y e meu c é y ^ 2. Prossigo e coloco esses valores em minha fórmula quadrática e é isso que obtenho:
x = (- y +/- sqrt ( y ^ 2 – 4 * 1 * y ^ 2)) / 2 * 1
Avaliando esta equação, eu entendo:
x = (- y +/- sqrt ( y ^ 2 – 4 y ^ 2)) / 2, que se torna x = (- y +/- sqrt (-3 y ^ 2)) / 2
Hmm. Acho que cheguei ao fim. Vejo que dentro da minha raiz quadrada vou acabar com um número negativo. Então, isso me diz que não há soluções reais aqui. Portanto, minha única resposta é x = y .
A soma dos cubos
E quanto à soma dos cubos? Vamos resolver a equação 8 x ^ 3 + 64 = 0 para ver o que acontece. Eu uso a fórmula para a soma dos cubos, que é a ^ 3 + b ^ 3 = ( a + b ) ( a ^ 2 – ab + b ^ 2). Não posso usar essa fórmula imediatamente porque preciso reescrever minha equação para poder ver quais valores estão sendo reduzidos ao cubo. Eu analiso meus números e vejo que meu 8 pode ser reescrito como 2 ^ 3 e meu 64 pode ser reescrito como 4 ^ 3.
Meu 2 ^ 3 e meu x ^ 3 podem ser combinados com (2 x ) ^ 3, então posso reescrever minha equação para se tornar (2 x ) ^ 3 + 4 ^ 3 = 0. Agora posso ver claramente quais valores estão sendo ao cubo. Meu a é 2 x e meu b é 4. Agora posso inserir esses itens em minha fórmula. Fazendo isso, eu entendo:
(2 x ) ^ 3 + 4 ^ 3 = (2 x + 4) ((2 x ) ^ 2 – 2 x * 4 + 4 ^ 2)
Isso avalia como (2x + 4) (4x ^ 2 – 8x + 16).
Faço o mesmo que fiz com a diferença de cubos para continuar resolvendo. Eu defino os dois conjuntos de parênteses iguais a 0.
2x + 4 = 0 e 4x ^ 2 – 8x + 16 = 0
Resolvendo o primeiro subtraindo 4 de ambos os lados e dividindo por 2, obtenho x = -2.
Para resolver o segundo, preciso usar o que sei sobre resolução de quadráticas. Aqui, novamente, posso usar a fórmula quadrática. Normalmente com equações cúbicas, você precisará usar a fórmula quadrática para resolver esta parte. Para minha fórmula quadrática, vejo que meu a é 4, meu b é -8 e meu c é 16. Conectando-os à fórmula, obtenho x = (8 +/- sqrt ((-8) ^ 2 – 4 * 4 * 16)) / 2 * 4 que se torna x = (8 +/- sqrt (64 – 256)) 8. A parte dentro da raiz quadrada torna-se -192, que é um número negativo. Então isso me diz que novamente não tenho soluções reais. Portanto, minha única solução aqui é x = -2. E nós terminamos!
Resumo da lição
O que aprendemos? Aprendemos que uma equação perfeitamente ao cubo é uma equação em que você tem um valor ao cubo menos ou mais outro valor ao cubo. Temos duas formas diferentes de equações com cubos perfeitos. Podemos ter a diferença dos cubos , que é a ^ 3 – b ^ 3 = 0, e podemos ter a soma dos cubos , que é a ^ 3 + b ^ 3 = 0.
Para resolver esses tipos de equações, usamos as fórmulas para cada formulário. Para a diferença de cubos, uso a fórmula a ^ 3 – b ^ 3 = ( a – b ) ( a ^ 2 + ab + b ^ 2), e para a soma dos cubos, uso a fórmula a ^ 3 + b ^ 3 = ( a + b ) ( a ^ 2 – ab + b ^ 2).
Para continuar a resolver, defino os dois conjuntos de parênteses iguais a 0 e resolvo para x . Eu uso minhas habilidades de álgebra para resolver o primeiro conjunto de parênteses. Uso o que sei sobre equações quadráticas para resolver o segundo conjunto de parênteses. Geralmente requer o uso da fórmula quadrática. Se a parte dentro da raiz quadrada for negativa, então eu sei que não haverá nenhuma solução real para este segundo conjunto de parênteses e minha única resposta é a que obtive resolvendo o primeiro conjunto de parênteses.
Resultados de Aprendizagem
Ao final desta lição, você será capaz de:
- Identifique uma equação perfeitamente cubada
- Manipule uma equação para aplicar a diferença de cubos ou fórmulas de soma de cubos para resolver