Uma equação exponencial
Resolver sua variável, geralmente x , é bastante simples quando seu x pode ser facilmente isolado por meio de adição, subtração, multiplicação ou divisão. Mas se sua variável for um expoente, será um pouco mais difícil resolvê-la. Esses tipos de problemas são chamados de equações exponenciais . Aqui estão alguns exemplos de equações exponenciais:
e x = 40
10 x + 2 = 30
e 2x – 7 e x + 10 = 0
À primeira vista, pode parecer que isolar ax seja uma tarefa difícil, senão impossível. Isto é, até você perceber que pode usar a função logarítmica para ajudá-lo a isolar o x . Vamos ver como você pode fazer isso.
Usando o Log
A função log é o inverso de uma função exponencial. Tem uma propriedade muito útil que pode ajudá-lo a resolver suas equações exponenciais.
x = b y com a função y = log b x
Isso significa que se a variável que você está tentando resolver está no expoente, você pode usar a função logaritmo, como esta:
(log b ) ( x y ) = y log b x
Vamos ver se você pode usar isso para ajudá-lo a resolver esta equação exponencial:
10 x + 2 = 30
Mesmo que ox , a variável que você está tentando resolver, esteja no expoente, você ainda vai usar técnicas de álgebra para resolver este problema. Isso significa tentar isolar sua variável da melhor maneira possível. Então você primeiro subtrai o 2 de ambos os lados. Lembre-se de que tudo o que você fizer de um lado, terá que fazer do outro também.
10 x + 2 – 2 = 30 – 2
10 x = 28
Agora você pode obter o log de ambos os lados para ajudá-lo a mover sua variável para fora do expoente para que possa resolvê-lo.
log (10 x ) = 28
Agora você pode usar a propriedade útil da função logaritmo para mover seu x para fora da área do expoente.
(log b ) ( x y ) = y log b x
Aplicando esta propriedade, você obtém isto:
x log (10) = log (28)
Usando a regra (log b ) (x) = 1 quando b = x , nosso termo log (10) é cancelado e ficamos com …
x = log (28)
x = 1,447
E você está pronto! Você resolveu o problema!
The Natural Log
Para alguns problemas, você pode ver um pequeno e . Este e é chamado de número de Euler e é aproximadamente igual a 2,71828. Se você vir uma equação exponencial com este número, em vez de usar a função de log, você usará a função de log natural ln , já que o log natural tem uma base de e . Você pode usar o log natural quando suas bases combinam. Então, se você tem um e , isso significa que você tem uma base de e . Se você vir um 10 ou qualquer outro número, sua base é um 10 e a função de registro padrão funcionará.
O processo de resolver uma equação exponencial com um e em vez de um número de base 10 é o mesmo, exceto que agora você está usando a função de log natural. Vamos tentar resolver este problema:
e x = 40
Primeiro, você pegará o tronco natural de ambos os lados.
ln e x = ln (40)
Agora você pode mover seu x para fora da área do expoente para obter isto:
x ln e = ln (40)
Como sabemos que o logarito natural é a base e , e (log b ) (x) = 1 quando b = x , nosso termo ln (e) se cancela e ficamos com …
x = ln (40)
x = 3,689
E você está pronto! Vamos tentar resolver outro problema.
Exemplo
e 2x – 7 e x + 10 = 0
Este é um pouco mais interessante. Em vez de ter apenas um termo com ax na variável, agora você tem dois deles. Para resolver isso, você precisará fazer isso de uma maneira diferente. Olhando mais de perto seus números, você vê que pode realmente ir em frente e fatorar seu problema para ajudá-lo a resolvê-lo, assim:
e 2x – 7 e x + 10 = 0
( e x – 2) ( e x – 5) = 0
Depois de fatorar, agora você pode ir em frente e resolver cada um de seus fatores usando o método de registro, como fez antes.
e x – 2 = 0
e x = 2
ln e x = ln (2)
x = ln (2)
x = 0,69
Essa é uma solução. O outro é este:
e x – 5 = 0
e x = 5
ln e x = ln (5)
x = ln (5)
x = 1,609
E você está pronto!
Resumo da lição
Vamos revisar. Uma equação exponencial é um problema com expoentes que geralmente tem uma variável na área do expoente que você deve resolver. Para resolver esses tipos de problemas, você fará uso da função logarítmica .
x = b y com a função é y = log b x , junto com esta propriedade: log b x y = y log b x
Esta propriedade só se aplica quando suas bases são as mesmas. Use o registro padrão com base 10 ao trabalhar com números de base 10. Se você vir um e , use o logaritmo natural, o logaritmo com base e . Você usará os mesmos métodos que usa para resolver todos os seus outros problemas de álgebra com a adição da função de log ajudando você a tirar a variável do expoente.