Exemplo de fundo
Após anos de economia, Samantha está finalmente comprando um carro novo. No entanto, sua principal preocupação é que seu carro perderá muito valor no longo prazo. Com uma desvalorização anual de 16,8%, Samantha se pergunta quantos anos o carro tem antes que o valor do carro caia para menos da metade do preço de varejo? Este é um problema de desigualdade exponencial. Depois de explorar as desigualdades exponenciais e logarítmicas, esta lição responde às preocupações de Samantha.
Desigualdades Exponenciais
Vamos primeiro apresentar algumas definições concretas que distinguem desigualdades exponenciais e logarítmicas. Simplificando, as desigualdades exponenciais têm expoentes, enquanto as desigualdades logarítmicas têm logaritmos. Ambos usam um dos quatro tipos de desigualdade. Em palavras: maior que, maior ou igual a, menor que e menor que ou igual a.
Antes de mostrar um método de solução, vamos resolver um problema matemático semelhante começando com a resposta. Parece interessante? O que é 2 5 ? Resposta: 2 (2) (2) (2) (2) = 32. Essa é a resposta, mas qual é a pergunta?
A questão é: encontre x para 2 x > 32.
Como 2 5 é 32, qualquer x maior que 5 funcionará.
Agora, para um método de solução:
Etapa 1: substitua a inequação por um sinal de igual.
De 2 x > 32 gravação
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Etapa 2: com expoentes, use logaritmos.
Pegue o registro:
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Etapa 3: Resolva.
A partir da propriedade, log a x = x log a, traga x na frente:
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Divida pelo log 2:
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Etapa 4: Avalie.
Usando uma calculadora, log 32 = 1,505 e log 2 = 0,301. Assim, x = 1,505 / 0,301 = 5.
Etapa 5: determine o domínio.
Quais valores de x fornecem 2 x > 32? Tente um número maior que 5, como x = 6. Então, 2 6 = 64 é maior que 32. Portanto, números maiores que 5 funcionam. Só para ter certeza, que tal um número menor que 5, como x = 4? Bem, 2 4 = 16 não é maior que 32.
Assim, x > 5 satisfaz a desigualdade 2 x > 32.
Etapa 6: (uma etapa opcional) Plotar.
Em uma linha numérica, mostre os valores da solução para x :
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Um círculo mostra o valor ausente em x = 5 e os valores de x se estendem ao infinito positivo. O valor 5 não está incluído porque a desigualdade original era estritamente ‘maior que’ e não ‘maior ou igual a’.
Desigualdades logarítmicas
Logaritmos e exponenciais são operações inversas . Em outras palavras, uma operação desfaz a outra. Por exemplo, 10 2 = 100 e log 100 = 2. Além disso, 10 log x = x . Nota: o log é de base 10.
Encontre os valores de x para log x <2.
Etapa 1: substitua a inequação por um sinal de igual.
De log x <2, escreva
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Passo 2: Com um logaritmo, eleve à potência da base.
Eleve à potência de 10:
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Etapa 3: Resolva.
Usando a propriedade inversa, um log x = x :
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Etapa 4: Avalie.
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Etapa 5: determine o domínio.
x = 101, log 101 = 2,004 é maior que 2 e não está no domínio. x = 99, log 99 = 1.995 é menor que 2 e está no domínio. Portanto, nossa conclusão deve ser x <100. Ao contrário das exponenciais, há uma consideração especial com os logaritmos: log x é válido para x maior que zero. Assim, x <100 e x > 0. Combinando essas desigualdades, obtemos: 0 < x <100.
Etapa 6: Plotar.
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Os círculos mostram os valores ausentes em x = 0 e x = 100. O 0 não está incluído porque log (0) não está definido e o 100 não está incluído porque o problema de desigualdade original declarou menor que ‘e não’ menor ou igual para.’
Voltar ao Exemplo de Fundo
Vamos voltar ao exemplo com o qual começamos nossa lição observando Samantha examinando a retenção de valor de seu novo carro. Ela pode começar escrevendo uma equação baseada em uma depreciação de 16,8% ao ano. Ela precisa considerar a equação, y = y o (1 – 0,168) x . O valor original é y o , o valor presente é y e x é o número de anos desde a compra. Esta equação faz sentido? No início, x = 0 anos ey = y o (1 – 0,168) 0 = y o , conforme esperado. Depois de um ano, x= 1 ey = y o (1 – 0,168) 1 = 0,832 y o , o que faz sentido.
Por quantos anos o valor presente é maior da metade do que Samantha pagou? Em termos de desigualdade, encontre x onde y ≥ 0,5y o .
De y ≥ 0,5y o , substitua y o (0,832) x por y :
y o (0,832) x ≥ 0,5y o
Cancele o y o :
(0,832) x ≥ 0,5
Esta é a desigualdade exponencial a ser resolvida. Como o valor inicial não está mais na desigualdade, o preço de varejo sugerido pelo fabricante não afetará os resultados.
Etapa 1: substitua a inequação por um sinal de igual.
De (0,832) x ≥ 0,5 escreva:
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Etapa 2: com um expoente, use logaritmos.
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Etapa 3: Resolva.
Traga o x na frente:
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Divida por log .832:
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Etapa 4: Avalie.
log 0,5 = -0,301 e log 0,832 = -0,0799. Assim, x = -0,301 / -0,0799 = 3,77 anos.
Etapa 5: determine o domínio.
Teste um número maior que 3,77, como x = 4. Então, (0,832) 4 = 0,48 é menor que 0,5. Números maiores que 3,77 não funcionam. Que tal um número menor que 3,77, como x = 3? Bem, (0,832) 3 = 0,58 funciona porque 0,58 é maior que 0,5.
Etapa 6: Plotar.
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Os valores em x = 0 e x = 3,77 estão incluídos. O 3,77 é incluído porque a desigualdade usa um menor ou ‘igual a’ e o 0 é incluído porque o ponto de partida no tempo para o valor presente do carro é quando Samantha compra o carro em um momento ‘igual a’ zero.
Samantha pode ficar com o carro por 3,77 anos, durante os quais o valor do carro será ≥ metade do seu valor original.
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos. As desigualdades exponenciais contêm expoentes e as desigualdades logarítmicas contêm logaritmos. Ambos usam um dos quatro tipos de desigualdade : maior que, maior ou igual a, menor que e menor ou igual a. Obter logaritmos e exponenciar são operações inversas, pois uma operação desfará a outra. Isso é claramente mostrado por 10 log x = x .
As etapas da solução para este processo são as seguintes:
Etapa 1: substitua a inequação por um sinal de igual.
Etapa 2: com um expoente, use logaritmos; com um logaritmo, eleve à potência da base.
Etapa 3: Resolva.
Etapa 4: Avalie.
Etapa 5: determine o domínio.
Etapa 6: Plotar.