O que são desigualdades?
Sydney tem um importante teste de matemática na sexta-feira. Ela quer estudar para o teste por pelo menos 30 minutos. Os pais de Sydney disseram que ela precisa sair para o treino de natação em 60 minutos. Portanto, ela pode estudar por não menos que 30 minutos e não mais que 60 minutos. Este cenário pode ser escrito como uma desigualdade composta . Mas o que exatamente isso significa?
Você pode pensar em uma desigualdade como uma equação, exceto que o sinal de igual é substituído por um sinal de menor ou maior que. Ainda precisamos resolver a desigualdade como você faria com uma equação. A única diferença é que em vez de uma resposta que torna a equação verdadeira, como x = 3, há muitas respostas que tornam uma desigualdade verdadeira, como x <5. Nesse caso, todos os números menores que cinco tornariam a desigualdade verdadeira.
- 2 x + 5 = 7 é uma equação porque tem um sinal de igual.
- 2 x + 5 <7 é uma desigualdade porque tem um sinal de desigualdade.
Uma desigualdade composta é apenas mais do que uma desigualdade que queremos resolver ao mesmo tempo. Podemos usar a palavra ‘e’ ou ‘ou’ para indicar se estamos olhando para a solução para ambas as desigualdades (e), ou se estamos olhando para a solução para qualquer uma das desigualdades (ou).
x <7 e x > -3, que também pode ser escrito como -3 < x <7, é uma desigualdade composta porque são duas desigualdades conectadas pela palavra ‘ e ‘. Isso também é conhecido como conjunção . Nesse caso, estamos procurando a solução para ambas as desigualdades. Em outras palavras, essa solução satisfaz ambas as desigualdades.
x > 7 ou x <-3 é uma desigualdade composta, também conhecida como disjunção , porque são duas desigualdades conectadas pela palavra ‘ ou ‘. Nesse caso, estamos procurando uma solução para qualquer uma das equações.
Vamos verificar novamente com Sydney. Sabemos que ela precisa estudar por pelo menos 30 minutos, mas menos de 60. Se configurarmos isso como uma desigualdade composta, ficará assim: x > 30 e x <60, também escrito como 30 < x <60.
Como resolver uma desigualdade composta
Exemplo 1
Vamos dar uma olhada na desigualdade 2 + x <5 e -1 <2 + x , que também pode ser escrita como -1 <2 + x <5. Esta é uma desigualdade composta porque usa a palavra ‘e’. Agora vamos resolver isso.
1) Resolva cada parte da desigualdade separadamente.
2 + x <5 e -1 <2 + x
Na primeira equação, 2 + x <5, precisamos subtrair 2 de cada lado para obter a variável sozinha. Então, obtemos x <3.
Na segunda equação, -1 <2 + x , subtraímos novamente 2 de ambos os lados. Isso nos dá -3 < x .
Nossa solução, então, é x <3 e -3 <x, ou -3 < x <3.
2) Gráfico na reta numérica.
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Como se trata de uma conjunção, o espaço entre -3 e 3 é onde está a resposta. Em outras palavras, qualquer valor entre -3 e 3 satisfaz essa desigualdade composta.
Lembra de Sydney? Se tivéssemos que exibir sua desigualdade em uma reta numérica, isso mostraria que todos os números entre 30 e 60 seriam soluções possíveis. Ou seja, ela poderia estudar por 35 minutos, 42 minutos e assim por diante.
Exemplo 2
Mas e se estivermos resolvendo uma disjunção? Vamos dar uma olhada na seguinte desigualdade: 7> 2 x + 5 ou 7 <5 x – 3. Desta vez, a palavra ‘ou’ é usada em vez da palavra ‘e’. Como solucionamos isso?
1) Resolva cada desigualdade:
Para 7> 2 x + 5, subtraímos 5 de cada lado para obter 2> 2 x . Divida cada lado por 2 e obtemos 1> x .
Para 7 <5 x – 3, adicionamos 3 a cada lado e obtemos 10 <5 x . Divida cada lado por 5 e teremos 2 < x .
2) Gráfico na reta numérica.
Como se trata de uma disjunção, qualquer valor maior que 2 e menor que 1 é onde está a resposta. Todos os números reais satisfazem essa desigualdade composta.
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Anotações importantes
Existem alguns pontos importantes a serem considerados ao resolver desigualdades compostas.
1.) Se você quiser verificar sua resposta ou não tiver certeza de sua resposta, escolha um valor dentro da região sombreada na reta numérica e conecte-o às duas desigualdades. Se você obtiver uma afirmação verdadeira em ambas as desigualdades, saberá que a resposta está correta. Por exemplo, quando resolvemos 2 + x <5 e -1 <2 + x descobrimos que a solução era -3 < x <3. 1 é um valor entre -3 e 3. Vamos inseri-lo na desigualdade para verificar nosso trabalho .
- Se substituirmos 1 por x em 2 + x <5, obteremos 2 + 1 <5 ou 3 <5.
- Se substituirmos 1 por x em -1 <2 + x, obteremos -1 <2 + 1 ou -1 <3.
Ambas são afirmações verdadeiras, portanto, nossa resposta está correta.
2.) Ao representar graficamente as desigualdades, use um círculo aberto para menor ou maior que e um círculo sombreado para menor ou igual a e maior ou igual a. Isso nos diz se o número mostrado na reta numérica está incluído (se estiver sombreado) ou excluído (se estiver aberto) como uma solução para a desigualdade.
3.) Se as setas apontam para a mesma direção, certifique-se de indicar onde a desigualdade composta é verdadeira. Por exemplo, se você resolveu a desigualdade e obteve x > -3 ou x > 5, ficaria assim:
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Como essa é uma disjunção, a região sombreada maior que -3 satisfaz essa desigualdade. Se fosse uma conjunção usando ‘e’, apenas a região sombreada maior que 5 satisfaria a desigualdade.
Resumo da lição
Nesta lição, aprendemos que uma desigualdade é como uma equação, exceto que usa um sinal de desigualdade em vez de um sinal de igual. Aprendemos que uma conjunção são duas desigualdades que usam a palavra ‘ e ‘ e que a solução satisfaz ambas as desigualdades. Também aprendemos que uma disjunção é uma combinação de duas desigualdades que usa a palavra ‘ ou ‘ e que a solução satisfaz qualquer uma das equações.
Para resolver uma desigualdade, primeiro resolva cada desigualdade separadamente, da mesma forma que resolveria uma equação. Depois de resolver cada parte, represente graficamente as desigualdades na mesma reta numérica. Se for uma conjunção que usa a palavra e, a solução deve funcionar em ambas as desigualdades e a solução está na região de sobreposição do gráfico. Se for uma disjunção que usa a palavra ou, a solução deve funcionar em qualquer uma das equações. Sempre escolha um valor e conecte-o de volta à desigualdade original para determinar se a resposta está correta.
Desigualdades compostas de ‘E’ e ‘Ou’: Vocabulário
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| Vocabulário | Definições |
|---|---|
| Desigualdade | como uma equação onde o sinal de igual é substituído por um sinal de desigualdade |
| Desigualdade composta | mais de uma desigualdade que precisa ser resolvida ao mesmo tempo |
| Conjunção | uma desigualdade composta em que as soluções devem funcionar em ambas as desigualdades; conectado pela palavra ‘e’ |
| Disjunção | uma desigualdade composta em que a solução deve funcionar em qualquer uma das desigualdades; usa a palavra ‘ou’ |
Resultados de Aprendizagem
Depois que os alunos terminam esta lição, eles devem ser capazes de:
- Definir desigualdade e desigualdade composta
- Desigualdades de conjunção e disjunção de contraste
- Resolva desigualdades compostas e represente graficamente suas soluções