O que é um logaritmo?
A fórmula básica para um logaritmo (log) é y = log 2 x é equivalente a 2 y = x o que significa que a solução para uma equação de logaritmo é a potência que você deve elevar um certo número para obter outro número. A função logaritmo é o inverso de um exponencial , que é um termo que possui uma variável em seu expoente. Por exemplo, 2 ^ x é um exponencial.
É lógico, então, que o gráfico de um logaritmo seria o inverso do gráfico de um exponencial. E você pode ver nesta imagem abaixo que isso está correto. O gráfico do logaritmo é apenas o gráfico do exponencial invertido em uma linha reta.
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Como representar graficamente um logaritmo
Existem dois métodos que você pode usar para representar graficamente um logaritmo.
A primeira é substituir uma variável por números para obter valores para a outra, depois colocá-los em um gráfico e conectar os pontos. Ao usar este método, lembre-se de que o log é indefinido em zero e menor que zero, portanto, x só pode ser maior que zero.
Vamos representar graficamente o seguinte como exemplo: log 2 x = y
A primeira etapa é desenhar um gráfico e, em seguida, preencher os valores de x e y .
| x | y |
|---|---|
| 1,4 | 0,5 |
| 2 | 1 |
| 2,8 | 1,5 |
| 4 | 2 |
| 5,7 | 2,5 |
Você pode escolher qualquer valor para y que desejar, mas menor geralmente é melhor. Dessa forma, seu gráfico não é enorme. Você pode ter uma ideia geral para o gráfico a partir de 5 ou mais pontos.
Então, quando você tiver seus pontos, apenas plote-os no gráfico e conecte os pontos. Lembre-se, com o gráfico de um logaritmo geral, ele nunca tocará ou cruzará o eixo y, mas chegará o mais perto possível.
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O segundo método para representar um logaritmo é usar uma calculadora gráfica. Leia as instruções que acompanham sua calculadora para fazer os logaritmos gráficos usando este método.
O domínio e intervalo de logaritmos
O domínio de qualquer equação são os possíveis valores de x para essa equação. É qualquer número que x poderia ser quando a equação é representada graficamente em um plano de coordenadas. Para a equação logarítmica geral, o domínio é x > 0 porque x não pode ser zero ou menor.
O intervalo , ou possíveis valores de y para qualquer equação, é qualquer número que y poderia ser quando a equação é representada graficamente no plano de coordenadas. Para a equação logarítmica geral, o intervalo é y = todos os números reais.
Transformações gráficas da equação logarítmica
Até agora, falamos apenas sobre a equação do logaritmo geral e seu gráfico, mas e se a equação for mais complexa, como y = log 2 x + 2
Adicionar ou subtrair à equação faz com que o gráfico se desloque para cima, para baixo, para a esquerda ou para a direita, dependendo de como a adição ou subtração é enquadrada. Representar graficamente as equações logarítmicas que foram alteradas pode ser feito facilmente se você se lembrar do conjunto de regras que regem essas alterações.
Regras para Transformações Gráficas:
1. A primeira regra diz que adicionar um número à equação fará com que o gráfico mude o número de espaços indicado por aquele número. O exemplo mostrado anteriormente tem um +2 adicionado à equação, o que significa que o gráfico irá deslocar dois espaços acima do gráfico geral.
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Como você pode ver acima, o gráfico foi deslocado para cima em dois espaços.
2. A segunda regra afirma que subtrair um número da equação fará com que o gráfico diminua esse número de espaços. Dê uma olhada neste exemplo: y = log 2 x – 2
Por causa do -2 na equação, o gráfico será deslocado para baixo em dois espaços.
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3. A terceira regra diz que adicionar um número dentro do argumento logarítmico fará com que o gráfico se desloque para a esquerda. Desta vez, o número que está sendo adicionado estará entre parênteses com ax , indicando que é uma parte da função de log e não apenas um número a ser adicionado no final da equação.
y = log 2 ( x + 3)
O (x + 3) entre parênteses nesta equação faz com que o gráfico se desloque três espaços para a esquerda.
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4. A quarta regra diz que subtrair um número dentro do argumento logarítmico fará com que o gráfico se desloque para a direita.
y = log 2 ( x – 3)
O (x – 3) entre parênteses fará com que o gráfico se desloque três espaços para a direita.
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Você também pode ter um gráfico que é traduzido em duas direções. Dê uma olhada neste exemplo:
y = log 2 ( x + 2) – 4
O gráfico desta equação será deslocado para a esquerda dois espaços e para baixo quatro espaços.
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O efeito das transformações no domínio e alcance
Anteriormente, discutimos o domínio e o intervalo das funções logarítmicas e definimos o domínio como os possíveis valores de xe o intervalo como os possíveis valores de y de uma função. Quando o gráfico básico for transformado de uma certa forma, ele mudará os valores para o domínio e intervalo dessa função.
Se o gráfico for deslocado para cima ou para baixo, o domínio ainda será x > 0 e o intervalo permanecerá y = todos os números reais. Se o gráfico se deslocar para a esquerda ou direita, o intervalo novamente não mudará, mas o domínio mudará junto com o gráfico. Isso ocorre porque estamos movendo o gráfico na direção x , portanto, a linha limite mudará. Se a equação for y = log 2 ( x + 2), então x pode ser menor que zero – apenas não pode ser menor ou igual a -2.
Se x = -2, então obtemos y = log 2 (-2 + 2) que é igual a y = log 2 (0) que é indefinido.
Tudo isso para dizer que para a equação y = log 2 ( x + 2), o domínio é x > -2.
A mesma regra se aplica se o gráfico for deslocado para a direita. Se a equação for y = log ( x – 3), então o domínio são todos os números maiores que 3, ou x > 3, a fim de manter o número sendo avaliado um número positivo.
Resumo da lição
Adicionando ou subtraindo números da equação ou argumento do logaritmo, você deslocará o gráfico do logaritmo para cima, para baixo, para a esquerda ou para a direita. É fácil de fazer se você se lembrar das regras de transformação. Se a transformação for para a esquerda ou direita, afetará o domínio do gráfico, mas não o intervalo. Deslocamentos para cima ou para baixo não afetarão o domínio ou o intervalo do gráfico.
Resultados de Aprendizagem
Após esta lição, você deverá ser capaz de:
- Defina o logaritmo e compare seu gráfico com um gráfico de um exponencial
- Explicar como representar graficamente uma equação logarítmica
- Liste as regras de transformação
- Identifique como as transformações afetam o domínio e o intervalo do gráfico