Funções de Etapa
Você já esteve em um táxi olhando o taxímetro, só para vê-lo pular no final do percurso? A maioria dos táxis cobra por cada milha ou incremento de milha, então o preço sobe no final, mesmo que você tenha dirigido apenas um pequeno trecho de milha.
Por exemplo, considere um táxi que cobra uma taxa fixa de $ 3,00 mais $ 1,00 por milha ou qualquer incremento de uma milha. O custo é uma função da distância percorrida ( x milhas) e é definido em incrementos ou intervalos.
| Distância | Custo |
|---|---|
| 0 < x ≤1 | $ 4 |
| 1 < x ≤2 | $ 5 |
| 2 < x ≤3 | $ 6 |
| 3 < x ≤4 | $ 7 |
Vemos que se nossa corrida de táxi fosse de 2,35 milhas, por exemplo, seríamos cobrados $ 6, embora não tenhamos percorrido três milhas completas. Quando uma função é definida em partes como esta, nós a chamamos de função por partes e a representamos usando a notação que fornece uma saída para cada intervalo de entradas.
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Nossa função táxi é um tipo especial de função por partes chamada função por etapas. Uma função de etapa é uma função que aumenta ou diminui em etapas de um valor constante para o próximo. Dentro da família de funções de degrau, existem funções de piso e funções de teto. Uma função de base é uma função de etapa que inclui o ponto final inferior de cada intervalo de entrada, mas não o ponto final superior. Uma função de teto é uma função de etapa que inclui o ponto final superior de cada intervalo de entrada, mas não o ponto final inferior. Como nossa função de táxi inclui o ponto final superior de cada intervalo de entrada, mas não o inferior, é uma função de teto.
Gráficos de funções de etapas
Há uma razão muito válida para o nome de uma função de etapa. Para observar esse motivo, vamos representar graficamente nossa função de táxi. Esperar! Como fazemos isso? Vamos descobrir!
Representar graficamente uma função de etapa é o mesmo que representar graficamente qualquer função por partes. Simplesmente representamos graficamente cada parte separadamente. Ao lidar com uma função de etapa, isso resulta nestas etapas para representar graficamente a função:
- Desenhe um segmento de linha horizontal em cada valor de saída constante ao longo do intervalo de valores de entrada a que corresponde.
- Desenhe um ponto de círculo fechado (um círculo preenchido) no ponto final incluído em cada linha horizontal.
- Desenhe um ponto de círculo aberto (um círculo não preenchido) no ponto final que não está incluído em cada linha horizontal.
Bem, isso não parece tão difícil! Vamos representar graficamente nossa função de táxi.
Primeiro, desenhamos nossos segmentos de linha horizontal a cada custo para o intervalo de milhas a que corresponde.
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A seguir, desenharemos em nossos pontos de extremidade incluídos com um círculo fechado.
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Por último, desenhamos os pontos finais que não estão incluídos usando um círculo aberto.
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Uau, isso realmente foi bem fácil, e agora temos um gráfico da função degrau que representa a estrutura de taxas do nosso táxi. Você percebe por que as funções de etapa têm seus nomes? O gráfico se parece exatamente com uma série de etapas. Muito arrumado!
Outro exemplo
Vejamos mais um exemplo. Suponha que você acabou de comprar um jet ski pelo preço de $ 3.500. Você o comprou com crédito, então decide alugar o jet ski para ganhar dinheiro para quitá-lo. Você decide ser gentil e cobra $ 50 por hora de forma que o custo aumente em $ 50 assim que você atingir a próxima hora, em vez de aumentar assim que atingir um incremento de uma hora. Isso permite que seus clientes obtenham a primeira hora de graça, um grande incentivo para alugar de você! Se o cliente alugar o jet ski por x horas, a estrutura de taxas é a seguinte:
| Tempo | Custo |
|---|---|
| 0≤ x <1 | $ 0 |
| 1≤ x <2 | $ 50 |
| 2≤ x <3 | $ 100 |
| 3≤ x <4 | $ 150 |
E assim por diante.
Vemos que sua estrutura de taxas resulta em uma função escalonada que inclui os pontos finais mais baixos, portanto, é uma função mínima.
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Você decide fazer um sinal com sua estrutura de taxas e deseja incluir um gráfico da função de taxas. Para fazer isso, precisamos representar graficamente a função, então vamos lá!
Primeiro, desenhamos segmentos de linha horizontal para cada custo ao longo do intervalo de horas a que corresponde.
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Em seguida, desenhamos nossos pontos finais incluídos com um círculo fechado.
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E, por último, desenhamos os pontos finais que não estão incluídos em um círculo aberto.
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Ta-da! Temos nosso gráfico! Agora você pode fazer seu sinal e ter seu jet ski pago em nenhum momento.
Resumo da lição
Uma função de etapa é uma função por partes que aumenta ou diminui em etapas de um valor constante para outro. Uma função de teto é uma função na família de funções escalonadas que inclui o ponto final superior de cada intervalo de entrada, mas não o ponto final inferior. Uma função de base é uma função de etapa que inclui o ponto final inferior de cada intervalo de entrada, mas não o ponto final superior.
As funções de etapa obtêm seu nome pelo fato de seus gráficos se parecerem com uma série de etapas. Para representar graficamente uma função de etapa, usamos estas etapas:
- Desenhe um segmento de linha horizontal em cada valor de saída constante ao longo do intervalo de valores de entrada a que corresponde.
- Desenhe um ponto de círculo fechado (um círculo preenchido) no ponto final incluído em cada linha horizontal.
- Desenhe um ponto de círculo aberto (um círculo não preenchido) no ponto final que não está incluído em cada linha horizontal.
Esses tipos de funções aparecem com frequência no mundo ao nosso redor, então é ótimo que representá-los em um gráfico envolva apenas três etapas fáceis. É tão fácil quanto 1, 2, 3!