Expressões Trinomiais
Em matemática, um trinômio é uma expressão algébrica que possui três termos e assume a forma a + b + c . Os termos a , b e c podem ser números, variáveis ou alguma combinação dos dois.
Quadratura de um Trinomial
Quando elevamos ao quadrado um trinômio, elevamos ao quadrado da mesma forma que faríamos com qualquer número ou variável comum: multiplicamos por ele mesmo.
( a + b + c ) 2 = ( a + b + c ) ( a + b + c )
Agora, antes de prosseguirmos, é importante notar que ( a + b + c ) 2 ≠ a 2 + b 2 + c 2 – um erro extremamente comum.
Ok, agora que estabelecemos isso, vamos ver como multiplicar um trinômio por ele mesmo. Para quadrar um trinômio, usamos a seguinte fórmula:
( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ac )
Para enquadrar um trinômio, tudo o que precisamos fazer é seguir estas duas etapas:
- Identifique a como o primeiro termo no trinômio, b como o segundo termo e c como o terceiro termo
- Insira a , b e c na fórmula
Por exemplo, suponha que quiséssemos elevar ao quadrado o trinômio x 2 + 3 x – 4. Primeiro, identificaremos o primeiro termo como a = x 2 , o segundo termo como b = 3 x e o terceiro termo como c = – 4 – Agora, apenas inserimos os valores na fórmula e simplificamos!
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Como dissemos antes, é apenas uma questão de multiplicar os termos e somá-los.
Origens da Fórmula
Então, de onde veio essa fórmula? Vamos dar uma olhada em como derivar essa fórmula e, no processo, você pode descobrir que gosta mais desse padrão para quadrar um trinômio do que usar a própria fórmula!
Como dissemos antes, quando elevamos ao quadrado um trinômio, estamos multiplicando-o por si mesmo:
( a + b + c ) 2 = ( a + b + c ) ( a + b + c )
Agora, para multiplicar quaisquer duas expressões algébricas com vários termos (como um trinômio) juntas, seguimos este padrão:
- Multiplique o primeiro termo do primeiro fator por cada um dos termos do segundo fator
- Multiplique o segundo termo do primeiro fator por cada um dos termos do segundo fator
- Continue este padrão para cada um dos termos no primeiro fator e, em seguida, some todos os produtos
Vamos usar esse padrão para elevar a quadratura a um trinômio e reescrever ( a + b + c ) 2 como ( a + b + c ) ( a + b + c ):
- Começando com o primeiro termo do primeiro fator, a , multiplique um por cada um dos termos no segundo fator para obter a 2 , ab e ac
- Passando para o segundo termo do primeiro fator, b , multiplique-o por cada um dos termos do segundo fator para obter ab , b 2 e bc
- Passando para o terceiro termo do primeiro fator, c , multiplique-o por cada um dos termos do segundo fator para obter ac , bc e c 2
- São todos os termos do primeiro fator, então agora adicionamos os produtos e simplificamos:
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Vamos experimentar este processo! Vamos encontrar (7 x – 2 y + z ) 2 sem usar a fórmula:
Primeiro, reescrevemos o problema: (7 x – 2 y + z ) 2 = (7 x – 2 y + z ) (7 x – 2 y + z )
Agora, multiplicamos cada termo no primeiro fator, um por um, por cada um dos termos no segundo fator:
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Por último, adicionamos todos os termos e simplificamos:
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Agora que você conhece o processo real de multiplicação do quadrado de um trinômio e a fórmula que pode usar para elevar a quadratura de um trinômio, depende de você qual processo deseja usar.