Matemática

Como provar e derivar identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas

Em trigonometria, temos várias identidades de trigonometria , ou afirmações verdadeiras sobre funções trigonométricas. Pense nisso como definições, se quiser. Eles explicam como descrever certas funções trigonométricas em outros termos.

Usamos nossas identidades de trigonometria para nos ajudar a simplificar problemas de trigonometria mais complicados e provar outras declarações de trigonometria. O que é realmente legal sobre algumas de nossas identidades é que podemos facilmente prová-las a partir de outras identidades. Portanto, se algum dia você se esquecer de alguns deles, poderá derivá-los você mesmo, se lembrar das provas que está prestes a ver. Você está pronto para começar? Ponha a cabeça para pensar!

A tangente

O primeiro que veremos é a função tangente. Lembre-se de que você já aprendeu que a função tangente também é a função seno dividida pela função cosseno. Como eles descobriram isso? Podemos derivar isso facilmente usando nossas definições para cada uma dessas funções. Certifique-se de que seu limite de pensamento ainda esteja colocado, pois isso requer um pouco de reflexão.

Em primeiro lugar, nossas definições – sabemos que nossa função seno é definida como oposta sobre a hipotenusa, nossa função cosseno é adjacente sobre a hipotenusa e nossa função tangente é oposta sobre adjacente. Lembre-se de que essas definições são baseadas no triângulo retângulo, em que a hipotenusa é o lado da hipotenusa, o adjacente é o lado mais próximo do ângulo e o oposto é o lado oposto ao ângulo.

Vamos usar essas definições para mostrar como podemos ir de seno sobre cosseno para a função tangente. Começamos com nosso seno / cosseno. Em seguida, inserimos nossas definições. Obtemos (oposto / hipotenusa) / (adjacente / hipotenusa).

Usando nosso conhecimento de divisão de frações, transformamos isso em um problema de multiplicação invertendo a fração inferior. Obtemos (oposto / hipotenusa) * (hipotenusa / adjacente). Agora, podemos ir em frente e cancelar ou simplificar o que pudermos. Vemos uma hipotenusa no numerador e denominador. Podemos ir em frente e cancelar isso.

O que nos resta? Ficamos com o oposto / adjacente. Qual função isso define? Por que, não é a função tangente? E aí temos que; derivamos a função tangente de seno / cosseno. Todo o processo se parece com isto:

seno / cosseno = (oposto / hipotenusa) / (adjacente / hipotenusa) = (oposto / hipotenusa) * (hipotenusa / adjacente) = oposto / adjacente = tangente.

Muito legal, hein?

As Identidades de Ângulo Duplo

Agora, vamos ver algo um pouco mais complicado, mas não mais difícil. Vamos derivar nossas identidades de ângulo duplo de nossas identidades de soma e diferença. Lembre-se de que nossas identidades de ângulo duplo são estas:

derivar identidades

E nossas identidades de soma são estas:

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As identidades de diferença são iguais às identidades de soma, exceto que os sinais são opostos. O que isso significa é que onde você vê um sinal de mais agora, você verá um sinal de menos, e onde você vê um sinal de menos agora, você verá um sinal de mais. Se você não vê uma placa na frente de algo, ele permanece o mesmo.

Para esta parte da lição, vamos apenas examinar as identidades de soma que você vê. Podemos derivar nossas identidades de ângulo duplo de nossas identidades de soma simplesmente definindo os ângulos alfa e beta iguais um ao outro. Se alfa e beta fossem x , então alfa mais beta se tornará 2 x . Se conectarmos x para alfa e beta, obteremos estes para nossas identidades de soma:

derivar identidades

Tudo o que fizemos foi conectar x para alfa e beta e, em seguida, simplificar nossas expressões. Aplicamos nossas habilidades de álgebra para combinar termos semelhantes. Você reconhece as fórmulas com as quais acabamos? Por que, eles não são nossas identidades de duplo ângulo?

Sim, eles são de fato! Se você alguma vez esquecer suas identidades de ângulo duplo, mas se lembrar de suas identidades de soma, então você pode facilmente encontrar as identidades de ângulo duplo simplesmente configurando ambos os ângulos nas identidades de soma com o mesmo valor.

As identidades de meio-ângulo

Para nossa última derivação, iremos derivar nossas identidades de meio ângulo de nossas identidades de ângulo duplo. Este requer mais poder do cérebro, então aumente seu limite de raciocínio. Nossas identidades de meio ângulo são estas:

derivar identidades

Para derivar essas fórmulas, vamos usar nossa identidade de cosseno de ângulo duplo e simplesmente dividir todos os ângulos na fórmula por 2. Vamos ver o que obtemos quando fazemos isso. Estamos usando apenas a identidade de ângulo duplo do cosseno porque podemos derivar todas as identidades de meio ângulo a partir desta fórmula:

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Para continuar, vamos usar a ajuda da identidade pitagórica, que é sin ^ 2 ( x ) + cos ^ 2 ( x ) = 1. Resolvendo para sin ^ 2 ( x ), obtemos 1 – cos ^ 2 ( x ). Resolvendo para cos ^ 2 ( x ), obtemos 1 – sin ^ 2 ( x ). Como o ângulo x é arbitrário, podemos inserir esses valores em nossa identidade de ângulo duplo de cosseno, substituindo os ângulos por x / 2.

Primeiro, vamos substituir o cos ^ 2 ( x / 2) por 1 – sin ^ 2 ( x / 2). Obtemos cos ( x ) = 1 – sin ^ 2 ( x / 2) – sin ^ 2 ( x / 2). Simplificando, obtemos cos ( x ) = 1 – 2 sin ^ 2 ( x / 2). Para resolver o pecado ( x / 2), primeiro subtraímos 1 de ambos os lados e, em seguida, dividimos por 2 negativo. Em seguida, obtemos a raiz quadrada de ambos os lados. Acabamos com isso:

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Agora, vamos substituir o sin ^ 2 ( x / 2) por 1 – cos ^ 2 ( x / 2). Vamos ver o que temos:

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Ok, até agora tudo bem. Você vê o que encontramos até agora? Já encontramos as identidades de meio-ângulo para seno e cosseno! Agora, só precisamos encontrar um para tangente.

Podemos fazer isso facilmente percebendo que nossa função tangente é simplesmente nossa função seno dividida por nossa função cosseno. Para encontrar nossa identidade tangente de meio ângulo, podemos simplesmente dividir nossa identidade de seno de meio ângulo com a de nossa identidade de cosseno de meio ângulo. Fazendo isso, obtemos o seguinte:

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Conseguimos nossa identidade tangente de meio-ângulo! Não foi legal? Fomos capazes de derivar todas as três identidades de meio-ângulo apenas da identidade de duplo ângulo de um cosseno.

Resumo da lição

Vamos revisar o que aprendemos agora. Aprendemos que nossas identidades trigonométricas são afirmações verdadeiras sobre funções trigonométricas. Aprendemos a derivar a tangente das definições do triângulo retângulo das funções seno e cosseno. Obtemos seno / cosseno = (oposto / hipotenusa) / (adjacente / hipotenusa) = (oposto / hipotenusa) * (hipotenusa / adjacente) = oposto / adjacente = tangente. Também vimos como derivar as identidades de ângulo duplo das identidades de soma. Depois disso, vimos como derivar as identidades de meio ângulo da identidade de duplo ângulo do cosseno.

Resultados de Aprendizagem

Depois de concluir esta lição, você será capaz de:

  • Definir identidades trigonométricas
  • Derive a tangente das funções seno e cosseno
  • Explicar como derivar identidades de ângulo duplo de identidades de soma e as identidades de meio ângulo da identidade de ângulo duplo de cosseno