Matemática, Economia e Iogurte
Decidi bem no início do meu primeiro ano de faculdade me especializar em matemática, mas um pouco depois descobri que também gostava de economia. Pensei em conseguir um menor de economia, mas me disseram que o menor tinha apenas duas classes a menos que o maior. Bem, se eu pretendia passar por 9 aulas de economia, por que não 11? Então eu fui em frente – duplo major, aí vou eu! E estou muito feliz por ter feito isso também. Acabou sendo uma brisa, porque havia matemática suficiente nas minhas aulas de economia para dificultar para todos os outros, mas muito fácil para mim.
De qualquer forma, estou mencionando isso porque queria compartilhar com vocês um problema de matemática que muitos dos meus colegas de economia podem ter ficado presos. Aqui está o cenário: eu decidi entrar no movimento e abrir uma nova rede de frozen yogurt – você sabe, o tipo em que eles simplesmente deixam você colocar o que quiser e então você pesa no final?
Bem, eu sei que as pessoas vão querer poder escolher entre várias coberturas diferentes, então ter mais é provavelmente melhor. Mas quantos devo ter? Se eu exagerasse e comprasse cerca de 200 tipos diferentes de coberturas, algumas delas provavelmente nunca seriam comidas e eu acabaria perdendo dinheiro.
Então é isso que os economistas fariam. Usando dados e teoria, eles estabeleceriam um modelo matemático que prevê quanto dinheiro eles ganhariam com diferentes números de coberturas. Digamos que, com base no desempenho das lojas de iogurte anteriores e como a economia está indo agora, eles chegaram a isto: y = – x 2 + 36 x – 224, onde y é o valor do lucro que terei ( em milhares de dólares) e x é o número de coberturas que vou oferecer.
Como o maior expoente em x é um 2, o que temos aqui é uma equação quadrática, o que significa que nosso gráfico será uma parábola. Esta quadrática está na forma padrão ( y = a x 2 + b x + c), o que significa que podemos fazer algumas observações.
O valor c nos dirá nossa interceptação y , o que significa que se eu não oferecesse coberturas ou substituísse x = 0, acabaria perdendo muito dinheiro. Em seguida, o valor negativo a me diz que esta será uma parábola côncava para baixo, então estou supondo que nosso gráfico se parecerá com isso. Portanto, isso faz sentido para mim – à medida que ofereço mais e mais coberturas, meu lucro aumentará lentamente. Mas, eventualmente, chegarei a um ponto em que estou oferecendo muitas coberturas e elas não serão comidas, então começo a perder dinheiro.
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A questão é: onde está o vértice dessa parábola? Bem, uma pena que esta função não foi dada a nós na forma de vértice ao invés da forma padrão. Se fosse, eu saberia exatamente qual era o número de coberturas para maximizar o lucro. Então, como podemos mudá-lo para a forma que queremos?
Bem, isso é exatamente o que é completar o quadrado: pegar uma equação de forma padrão como esta ( y = a x 2 + b x + c) e transformá-la na forma de vértice, assim: y = a ( x – h) 2 + k. A parte principal do problema se resume a este rapaz: ( x – h) 2 . Chamamos isso de binômio quadrado perfeito e precisamos lembrar que não é igual ax 2 – h 2 , mas sim igual a ( x – h) ( x– h). Então, se estamos tentando mudar nossa equação de forma padrão para a forma de vértice, o que precisamos fazer é fatorar a equação da forma padrão em algo assim, um binômio quadrado perfeito. Como costuma ser o caso em matemática, tudo vai se resumir ao padrão.
Encontrando e completando o quadrado
Vamos sair do nosso problema do iogurte bem rápido para um outro um pouco diferente, com números um pouco melhores para tornar mais fácil encontrar o padrão – digamos, ( x + 5) 2 . Bem, isso é apenas ( x + 5) ( x + 5), que podemos FOIL para ser x 2 + 10 x + 25.
Então, que relação os números na expressão da forma padrão têm uns com os outros? Bem, pode ser um pouco complicado de ver, mas acontece que nosso valor de b, 10, dividido por 2 (que é 5) e depois ao quadrado se transforma em nosso valor de c, 25. Já que sabemos que este trinômio pode ser fatorado em um binômio quadrado perfeito, ( x + 5) 2 , descobrirá que qualquer trinômio onde o valor do meio dividido por 2 e então ao quadrado é nosso valor final, o valor c, será capaz de ser fatorado como um quadrado perfeito binomial. Se quisermos dizer a mesma coisa em matemática, estamos procurando um trinômio com valor de CA igual a (b / 2) 2 . Se for esse o caso, ele pode ser fatorado como um binômio quadrado perfeito.
Portanto, para fazer isso, precisamos que nosso valor c seja um número específico. Mas quando temos uma equação à qual podemos, digamos, adicionar 20 a ambos os lados, podemos tornar esse c o valor que quisermos. Isso nos permite forçar o valor de c a ser o número exato de que precisamos para nos tornar um binômio quadrado perfeito. Esse processo de mudar o valor de c para o número exato que o faz se encaixar no padrão e se tornar um binômio quadrado perfeito é o que os matemáticos chamam de completar o quadrado .
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Lucro de iogurte
Vamos ver como faríamos isso com nosso problema de iogurte para determinar o número certo de coberturas a oferecer. Estávamos aqui – y = – x 2 + 36 x – 224 – mas agora sabemos que nosso valor c precisa ser algo específico para funcionar como um binômio quadrado perfeito. O que precisa ser é o número do meio, 36, dividido por 2 (18) e ao quadrado (324). No momento, nosso valor de c é -224, portanto, não é o número certo. Nosso trinômio não está pronto para ser fatorado como um binômio quadrado perfeito … ainda.
O que podemos fazer é usar operações inversas em ambos os lados do sinal de igual para transformá-lo no número que precisamos, 324. Agora, este é realmente um exemplo estranho e porque temos esse sinal negativo, um valor negativo a, na verdade, precisamos que nosso valor de c seja -324. Então, se eu quiser que o valor de c seja -324, e agora é -224, eu simplesmente preciso torná-lo 100 menor. Isso significa que podemos subtrair 100 de ambos os lados da equação, o que nos dá o seguinte: y – 100 = – x 2 + 36 x – 324. Agora que nosso valor c é o valor correto exato que precisa ser, podemos fatorá-lo em um binômio quadrado perfeito.
Primeiro vamos tirar esse sinal negativo de tudo, dividindo-o, colocando-o na frente e depois mudando o sinal em todo o resto. E agora precisamos fatorar o trinômio dentro dos parênteses, ( x 2 – 36 x + 324). Encontrar dois números que se multiplicam por 324 e somam -36 pode ser um pouco difícil de encontrar, mas eventualmente chegaríamos a -18 e -18. O fato de serem ambos o mesmo número e também iguais a metade de 36 significa que estamos no caminho certo!
Assim que encontrarmos esses dois números, podemos fatorar a expressão e reescrevê-la assim: y – 100 = – ( x – 18) ( x – 18), e então, como ambos são iguais, podemos combiná-los em um e mude para este: y – 100 = – ( x – 18) 2 . Já completamos o quadrado! Pegamos um trinômio e o transformamos em um binômio quadrado perfeito. Uma última etapa para transformá-lo na forma de vértice significa adicionar o -100 de volta ao outro lado da equação, e agora temos nossa forma de vértice, y = – ( x – 18) 2+ 100. Lembrando que os valores hek da forma do vértice nos dizem onde está o vértice, o vértice de nossa parábola estava em (18, 100). Isso significa que 18 é o número ideal de coberturas para vender e ganharei $ 100.000 se fizer isso. Hmm, talvez eu devesse repensar ser professor …
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Preencher o quadrado pode ser muito difícil de ver no início e provavelmente é uma das coisas mais complicadas que você precisa aprender em uma aula de álgebra. Agora que você conhece a ideia geral, provavelmente é uma boa aposta verificar a lição posterior, onde nos concentraremos no processo e resolveremos alguns problemas práticos.
Resumo da lição
Completar o quadrado transforma uma equação quadrática na forma padrão ( y = a x 2 + b x + c) em uma na forma de vértice ( y = a ( x – h) 2 + k). Um trinômio pode ser fatorado em um binômio quadrado perfeito, desde que o valor c seja igual a (b / 2) 2 , o que significa que se o valor c do seu trinômio não for naturalmente igual ao que você deseja, você pode completar o quadrado executando operações em ambos os lados da equação para forçar o valor de c a ser exatamente o que você deseja.
lições objetivas
Ao terminar esta lição, você será capaz de:
- Alterar uma equação quadrática escrita na forma padrão para uma na forma de vértice
- Fatore os trinômios em um binômio quadrado perfeito