Como interpretar funções matemáticas

O que é uma função matemática?

Uma função matemática consiste em três partes: entrada, saída e a relação entre as duas, que pode ser representada em um gráfico. Interpretar uma função significa converter os símbolos de uma fórmula ou gráfico desenhado em informações significativas que se ajustem ao que você está procurando. Quando você está interpretando uma função, está respondendo a perguntas com base nas informações ocasionalmente enigmáticas disponíveis.

Gráfico Linear com Três Regiões Distintas

Interpretando um gráfico de função

Por exemplo, talvez queiramos responder às seguintes perguntas sobre o gráfico de três regiões ilustrado acima:

1. Que tipo de função é?
2. Quais são o domínio e o intervalo?
3. Em que pontos ele atravessar a x e y eixos?
4. Em que partes o valor de y aumenta à medida que x aumenta (inclinação positiva)?

Olhando para o gráfico, podemos descobrir que:

1. É uma função de peça. Existem três seções diferentes (mostradas em cores diferentes na imagem para ajudá-lo a visualizá-las), que se comportam de maneiras diferentes. Cada quebra no fluxo da linha informa que a fórmula mudou naquele ponto. Além disso, cada uma das três seções é uma linha reta, o que significa que você não está lidando com nenhum expoente maior que 1.
2. O domínio é o conjunto de possíveis valores de x . Nesta função, o domínio parece se estender de x = -10 (lado esquerdo do gráfico) a x = 10 (lado direito do gráfico). Se uma imagem mostra apenas parte do gráfico, como costuma acontecer, o domínio pode ser muito maior. O ponto mais alto no gráfico mostrado acima é y = 2 e o ponto mais baixo é y = -5, de modo que estabelece o intervalo. Novamente, pode haver mais na linha, o que afetaria o alcance.
3. A linha cruza o eixo x em aproximadamente x = -6, x = 0 e x = 8,5. Parece que atravessar o y eixo em y = 0.
4. A linha sobe pelo lado esquerdo do gráfico ( x = -10) até atingir x = -2, onde muda de direção. Também parece aumentar entre x = 5 e x = 10.

Passos para interpretar gráficos

Determine o tipo.

O tipo de função dirá com que tipo de fórmula ou relacionamento você está trabalhando e o comportamento geral que você pode esperar da função.

A forma deste polinômio nos diz que a função tem um expoente 3 nela

Determinar os pontos-chave

Pontos máximos, pontos mínimos, domínio, alcance, interceptações x , interceptações y e comportamento final (para quais direções vão as extremidades do gráfico?) São todas informações úteis para a compreensão da função.

No gráfico polinomial de 3º grau acima, podemos ver que a função parece ter um máximo local em x = -2,8 e um mínimo local em x = 0,8. O domínio e o intervalo podem ser infinitos, pois o gráfico provavelmente continua além do que é mostrado. A função parece cruzar o eixo x em x = 2, x = -1 e x = -4. Parece que atravessar o y eixo em y = -2. O fim parece se estender em direção ao infinito negativo (para baixo) à esquerda e ao infinito positivo (para cima) à direita do gráfico.

Determine a equação, fórmula ou definição

No gráfico de 3º grau mostrado, os locais onde ele cruza o eixo x são fundamentais para a fórmula. Sabemos que nesses valores para x , a saída da função vai para 0. Isso significa que o gráfico será alguma versão do polinômio que você obtém ao multiplicar três binômios:

( x – 2) ( x + 1) ( x + 4) = x ³ + 3 x ² – 6 x – 8

Se olharmos de volta para o gráfico, percebemos que ele não cruza o eixo y em -8 (que é onde a equação acima estaria se todos os x s fossem 0), então temos que modificar nossa equação para ajustá-la a linha mostrada. Visto que cruza em -8 em vez de -2 mostrado no gráfico, nossa equação é semelhante à mostrada, mas é muito íngreme. Para transformar o -8 em -2, devemos dividir por 4, o que afetará toda a equação, produzindo:

0,25 x ³ + 0,75 x ² – 1,5 x – 2

Interpretando uma definição de função

Quando você está trabalhando com uma definição de função, geralmente deseja interpretar o comportamento da equação ou descrição de uma forma visual, como um gráfico de linha. Por exemplo, se lhe disserem que f (x) = x ² – 4, você pode responder às seguintes perguntas para interpretá-lo:

1. Que tipo de função é? Como o expoente mais alto da função é 2, é uma função quadrática. Isso significa que o gráfico se parecerá com uma parábola , uma linha curva que tem uma curva simples no meio e segue na mesma direção nas duas extremidades.

2. Onde é que a função de cruzar os x e y eixos? Todos os polinômios cruzam o eixo x quando o valor da função vai para 0. Nessa equação, isso seria verdadeiro em x = 2 e x = -2, então esses seriam os interceptos x . Quando x for 0, o valor da função será -4, então essa é a interceptação de y .

3. Qual é a aparência do gráfico? Depois de conhecer a forma e as interceptações, traçar mais alguns pontos, inserindo valores para x , fornecerá um gráfico aceitável:

Gráfico de parábola baseado em uma equação quadrática

Resumo da lição

As funções de interpretação de gráficos e definições exigem que você converta a imagem ou os símbolos que possui nas informações de que precisa. As etapas incluem determinar que tipo de função é e identificar suas características específicas, como domínio, alcance e comportamento final. Traçar pontos importantes, como interceptações e pontos de inflexão, também faz parte da interpretação de uma função. As funções nos gráficos geralmente assumem uma forma específica, como uma parábola ou linha curva.