Integrando Funções Racionais
Conforme avançamos em um curso de cálculo, começamos a ver integrais de complexidade crescente. Um exemplo disso é uma função racional com um polinômio no numerador ou denominador. Nesse caso, podemos primeiro ter que completar o quadrado para reescrevê-lo como a soma ou diferença de dois quadrados. Feito isso, podemos geralmente aplicar uma substituição ou série de substituições a partir da qual podemos integrar mais facilmente.
Por exemplo, recebemos a seguinte integral:
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Quais são algumas das etapas para integrar essa função racional?
Completando o quadrado
Primeiro, vemos que o denominador é uma expressão quadrática. À primeira vista, parece que não pode ser fatorado. Nosso objetivo deve ser transformar esse denominador na soma ou diferença de dois quadrados para que possamos usar a substituição para integrar. Nós olhamos para este denominador:
x 2 + 2x + 5
Para completar o quadrado, precisamos alterar essa expressão quadrática para uma forma que possamos fatorar. Começamos com:
x 2 + 2x + 1 + 4
Aqui, expressamos o 5 como 1 + 4. Vemos que podemos agrupar e fatorar os três primeiros termos:
x 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) 2 + 4
Além disso, podemos expressar o 4 como 2 2 . Assim, ao completar o quadrado desta expressão quadrática, ficaremos com:
(x + 1) 2 + 2 2
Substituindo este resultado de volta em nossa integral:
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Agora temos uma integral com a soma de dois quadrados, onde x = (x + 1) e a = 2:
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Substituições
O denominador
Porque agora temos nosso denominador na forma:
a 2 + x 2
e sabemos que:
x = um tanθ
Podemos expressar 2 + x 2 como:
a 2 + a 2 tan 2 θ = a 2 (1 + tan 2 θ)
E, por sua vez:
a 2 (1 + tan 2 θ)
pode ser expresso como (outra substituição):
a 2 s 2 θ
Como estabelecemos que a = 2, nosso denominador se torna 4 seg 2 θ.
O Numerador
Antes de podermos integrar, devemos mudar nosso numerador, dx, para uma forma com dθ. Nós sabemos o seguinte:
(x + 1) / 2 = tanθ
Isso é igual a:
x + 1 = 2 tanθ
Pegando a derivada disso, temos:
dx = 2 seg 2 dθ
Isso é o que estávamos procurando. Agora que dx é em termos de dθ, podemos preencher o numerador com 2 segundos 2 dθ.
De volta ao nosso integral
Fazendo todas as substituições necessárias, nosso denominador será:
4 s 2 θ
e nosso numerador será:
2 s 2 θdθ.
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Como você pode ver, esta integral pode ser simplificada, pois o sec 2 θ no numerador e denominador pode ser reduzido para 1 e 1/2 pode ser fatorado fora da integral.
Após a integração, temos:
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No entanto, nossa integral original se parecia com isto:
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Portanto, devemos expressar (1/2) θ + c em termos de x.
Observe como:
(x + 1) / 2 = tanθ
e resolvendo para θ:
θ = tan -1 ((x + 1) / 2)
Podemos expressar (1/2) θ + c em termos de x:
tan -1 ((x + 2) / 2) + c
É importante mencionar que tan -1 ((x + 2) / 2) + c é apenas outra maneira de expressar arctan ((x + 2) / 2) + c, uma função tangente inversa. Não deve ser confundido com uma função de potência.
Então, para concluir:
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= tan -1 ((x + 2) / 2) + c
Resumo da lição
Como estamos expostos a integrais mais complexos, como funções racionais com polinômios no denominador e / ou numerador, podemos ter que usar uma variedade de métodos de substituição (como substituições trigonométricas) antes e depois da integração. Primeiro, no entanto, temos que expressar um polinômio dentro da integral como a soma ou diferença de dois quadrados para implementar tais substituições.