Como identificar famílias de funções

O que é uma função?

Provavelmente, muito cedo, você iria visitar o zoológico e perceberia que todos os animais não eram iguais. Alguns animais eram um pouco diferentes e alguns animais eram muito diferentes. Leões e tigres são mais parecidos uns com os outros do que com um urso. Leões, tigres e ursos são mais parecidos uns com os outros do que, digamos, uma água-viva.

Agrupamos os animais em categorias, com base em suas características. Podemos agrupar funções de uma maneira muito semelhante. As funções podem ser agrupadas em famílias, com base em suas características e na aparência de seus gráficos. Esta lição lhe dará dicas para identificar a qual família a função pertence.

Uma função é um relacionamento entre uma ou mais variáveis. Uma função mapeia um valor de entrada para exatamente um valor de saída. A notação comum para uma função é f ( x ); no entanto, você verá outras letras usadas, como g ( x ), h ( x ) e muitas outras. Um exemplo de função seria f ( x ) = 4 x – 2, onde x é o valor de entrada ef ( x ) é o valor de saída. A notação f ( x ) também é conhecida como valor y ou variável dependente.

O que é uma família de funções?

Existem muitos tipos diferentes de funções. Esses diferentes tipos de funções podem ser agrupados em várias categorias diferentes. As categorias são chamadas de famílias de funções. Muitas das categorias são baseadas no grau da função (o maior expoente da função).

1. Polinômios

Polinômios são uma grande família de funções. É um guarda-chuva que cobre várias subcategorias. Um polinômio é uma função que possui um ou mais termos conectados por adição ou subtração. Cada termo deve ter um expoente que seja um número inteiro positivo.

O domínio de todos os polinômios são os números reais (todos os valores de x podem ser usados). O gráfico de um polinômio é contínuo. As funções f ( x ) = 4 x – 2 e g ( x ) = 2 x 3 – 9 x – 8 são polinômios. h ( x ) = 4 x -2 + 2 x + 4 não é um polinômio. A maneira mais fácil de identificar as diferentes subcategorias de polinômios é observar o maior expoente na função.

2. Linear

A primeira subcategoria de polinômios são as funções lineares. As funções lineares têm um grau de 1 (como em, o expoente na variável geralmente não é escrito). As funções lineares podem ser escritas na forma f ( x ) = mx + b , onde m é a inclinação da função eb é o intercepto y . O gráfico de uma função linear é uma linha. Exemplos de funções lineares são f ( x ) = -3 x + 7 e m ( x ) = 10 – 5 x .

3. Quadrático

Uma função quadrática é um polinômio com grau 2. A forma padrão de uma quadrática é f ( x ) = ax 2 + bx + c . Os valores de a , b e c permitem determinar o vértice, zeros, concavidade e interceptos y da função quadrática. O gráfico de uma quadrática é uma parábola (semelhante à letra U). Exemplos de funções quadráticas são f ( x ) = 3 x 2 + 7 x + 10 e j ( x ) = -7 x 2 + 100.

4. Cúbico

Uma função cúbica é um polinômio com grau 3. Para identificar uma função cúbica, verifique se o maior expoente é 3 e se é polinomial. O gráfico de uma função cúbica é semelhante a um Z lateral ou uma cadeira. Exemplos de funções cúbicas são f ( x ) = 5 x 3 + 2 x 2 – 4 x + 10 e g ( x ) = 7 x 3 – 9 x 2 + x – 2.

5. Racional

A maneira mais fácil de identificar uma função racional é que eles tenham uma variável no denominador. Se houver apenas uma constante no denominador, não é uma função racional. Ao contrário dos polinômios, o domínio de uma função racional não são todos os números reais. Muito provavelmente, o denominador em algum valor de x será igual a zero. Neste ponto, a função está indefinida. O gráfico dessas funções terá lacunas no valor x que faz com que o denominador seja igual a zero. Essas lacunas são chamadas de assíntotas verticais .

6. Exponencial

As funções exponenciais podem ser identificadas observando o expoente. Se uma variável faz parte do expoente, é uma função exponencial. Funções exponenciais vir sob a forma de f ( x ) = a ( b ) x + C . O gráfico será uma curva suave com uma extremidade se aproximando de uma assíntota horizontal , que é uma linha horizontal que a função não cruza quando o valor x se aproxima do infinito.

Exemplos de funções exponenciais: f ( x ) = 110 (1,07) x + 70 e n ( x ) = 83 (0,45) x .

7. Logarítmico

As funções logarítmicas são as funções inversas das exponenciais. Eles podem ser identificados pelo uso de ‘log’ ou ‘ln’ na função. Se o gráfico de uma função exponencial tem uma assíntota horizontal em y = 3, então a função logarítmica inversa terá uma assíntota vertical em x = 3 e será semelhante. Os exemplos são f ( x ) = log (3 x – 7) ou h ( x ) = ln ( x ).

8. Trigonométrica

As funções trigonométricas podem ser identificadas pelo uso de uma das funções trigonométricas: sin, cos, tan, sec, csc ou cot. Um exemplo seria f ( x ) = cos (2 x + 1). O gráfico dessas funções será em ciclos no mesmo período. As funções sin ( x ) e cos ( x ) parecem ondas quando representadas graficamente.

9. Valor Absoluto

As funções de valor absoluto têm as duas barras paralelas em cada lado dos termos. Os gráficos serão simétricos. Se o interior função das barras paralelas é uma função linear, em seguida, o gráfico será semelhante a um V .

Famílias Comuns de Funções

Resumo da lição

Tudo bem, isso era um pouco para cobrir, então vamos recapitular todas as informações importantes que aprendemos. As funções vêm em uma variedade de categorias diferentes. É importante lembrar as definições desses diferentes tipos de funções que cobrimos, então aqui está uma lista concisa para você revisar:

Polinômios são funções que possuem um ou mais termos conectados por adição ou subtração.
As funções lineares têm um grau de 1.
As funções quadráticas têm um grau 2.
As funções cúbicas têm um grau 3.
As funções racionais têm uma variável no denominador.
Funções exponenciais são funções em que a variável faz parte do expoente.
As funções logarítmicas são as funções inversas das exponenciais.
As funções trigonométricas podem ser identificadas pelo uso das funções trigonométricas: sin, cos, tan, sec, csc ou cot.
As funções de valor absoluto têm as duas barras paralelas em cada lado dos termos.

Todas essas diferenças podem ser detectadas na equação e no gráfico da função. A equação nos dirá que tipo de função é, com base no expoente e onde as variáveis estão localizadas. Os gráficos nos dirão a qual família as funções pertencem, com base em sua forma e na presença ou ausência de uma assíntota vertical ou horizontal, com uma assíntota vertical sendo a lacuna no valor x que faz com que o denominador seja igual a zero e uma assíntota horizontal sendo uma linha horizontal que a função não cruza quando o valor x se aproxima do infinito.