Resenha de Riemann Sums
Imagina isto. Você está sentado aí, cuidando da sua vida, e eu jogo uma folha de papel na sua frente e digo: ‘Qual é a área sob esta curva?’ A curva é y = x ^ 2 + 1, e estou perguntando sobre a área entre x = 0 e x = 2. O que você faz? Felizmente, você se lembra de que a Soma de Riemann fornecerá a área entre alguma função e o eixo x . E você sabe que a soma de Riemann nada mais é do que a soma de k = 1 a k = n de f ( x sub k ) vezes delta ( x sub k) Tudo o que você está fazendo é somar as áreas de n fatias. Cada fatia tem f ( x sub k ) de altura – isso é f (x) de altura para a k- ésima fatia – com uma largura delta ( x sub k ). Então você olha para mim e diz: ‘Vou usar um Riemann Sum. Em particular, vou usar um Riemann Sum com uma fatia para torná-lo mais fácil para mim. Você acabou de jogar uma folha de papel na minha frente. Você é um pouco louco. ‘
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Então, você pega sua Soma de Riemann com uma fatia e escreve essa soma como sendo f ( x sub 1) * delta ( x sub 1). Para f ( x sub 1), você escolhe o lado esquerdo deste gráfico e diz f ( x sub 1) = f (0) = 0 ^ 2 + 1, que é igual a 1. delta ( x sub 1) é o largura de sua fatia, que é apenas 2 porque é o lado direito, 2, menos o lado esquerdo, 0. Você conecta 1 para f ( x sub 1) e 2 para delta ( xsub 1), e você obtém 1 (2) = 2 é a área sob esta curva. Eu digo, ‘Não é bom. Tente novamente!’ Você diz: ‘Ok, tudo bem.’
Você pega novamente uma Soma de Riemann com uma fatia, mas desta vez, escolhe seu f ( x sub 1) para ficar no meio da fatia. No meio da fatia, em x = 1, f ( x sub 1) = f (1) = 1 ^ 2 + 1 = 2. delta ( xsub 1) ainda vai ser 2, mas agora, a área vai ser 2, que é a altura no meio vezes 2, a largura. Então, a área é 4. Ok, ótimo, me dê mais um. Quando você pegou um ponto no lado esquerdo do seu segmento, para estimar a área da fatia, você obteve uma área que era igual a 2. Quando você tirou um ponto no meio da fatia, a área era 4. Mas o que acontece se você pegar um ponto do lado direito dessa integral? No lado direito da integral, vamos chamar f ( x sub 1) o ponto em que x = 2, então esse é o lugar onde vou medir a altura da minha primeira área. Então f ( x sub 1) vai ser igual a f(2) = 2 ^ 2 + 1 = 5. A largura da minha fatia ainda é igual a 2. Tenho uma altura de 5 e uma largura de 2 e obtenho uma área de 10.
Quando escolhi um ponto do lado esquerdo, a área era 2. Quando escolhi um ponto do meio, a área era 4, e quando escolhi um ponto do lado direito, a área era 10. Mesmo que para cada um desses eu estava fazendo apenas uma fatia da curva. Isso define o que conhecemos como somas de Riemann do lado esquerdo , onde você escolhe o ponto esquerdo de cada fatia, meio ou ponto médio das somas de Riemann, onde você escolhe o meio de cada fatia para encontrar uma área e as somas de Riemann do lado direito , onde você escolhe o ponto do lado direito para avaliar a área de uma fatia.
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Soma de Riemann de ponto médio
Agora você se vira, joga uma folha de papel em mim e diz: ‘Qual é a área?’ Aqui, sua curva é y = x ^ 3 ex vai de 0 a 4. Eu sei como esse jogo funciona, então pergunto, ‘Que tipo de Soma de Riemann você quer?’ e você diz, ‘Eu quero o meio, ou ponto médio, Riemann Sum com duas fatias.’ Então eu divido isso em dois segmentos: um de 0 a 2 e um de 2 a 4. Eu sei que meu n na minha Soma de Riemann será 2, porque tenho duas áreas que vou somar para obter uma estimativa para a área total. Posso expandir esta Soma de Riemann como f ( x sub 1) * delta ( x sub 1), a área da minha primeira fatia,x sub 2) * delta ( x sub 2), a área da segunda fatia. Como estou usando a soma de Riemann de ponto médio, f ( x sub 1) será obtido no meio desta primeira fatia, em x = 1.
Da mesma forma, vou pegar o ponto médio exato desta segunda fatia para estimar a área desta segunda região. Isso vai estar em x = 3. Minha soma torna-se f ( x sub 1) * delta ( x sub 1) + f ( x sub 2) * delta ( x sub 2) = f (1) do meu delta ( x sub 1), então a largura do primeiro fatia vai ser 2 – 0 – porque ‘delta ‘ significa mudança – mais minha segunda fatia, f (3) vezes delta ( x sub 2), que vai ser 4 – 2. Bem, f(1) = 1 ^ 3 = 1 e f (3) = 3 ^ 3 = 27. Tudo o que fiz foi conectar 1 e 3 em minha função, y = x ^ 3, e concluí que minha soma é igual a 1 (2) + 27 (2). Portanto, 1 é a altura e 2 é a largura do meu primeiro segmento, e eu os multiplico para obter a área. O segundo segmento tem uma altura de 27 e uma largura de 2, e eu os multiplico para obter a área da segunda fatia. Quando eu os somo, 2 + 54, obtenho 56.
Soma de Riemann do lado esquerdo
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‘Tudo bem’, você me diz. ‘Que tal uma soma de Riemann do lado esquerdo com n = 4?’ Ok, isso significa que vou dividir minha região em quatro partes. Vou estimar a altura de cada região usando o ponto do lado esquerdo de cada fatia. Então, tenho x sub 1 em x = 0, x sub 2 está em x = 1, x sub 3 está no lado esquerdo da minha terceira fatia em x = 2 e x sub 4 está em x= 3, porque esse é o lado esquerdo da minha quarta fatia. Meu Riemann Sum agora tem quatro componentes diferentes. Portanto, estou encontrando a área sob esta curva, que será a área das quatro fatias somadas. Tenho um mandato para cada uma das quatro áreas. Vamos dar uma olhada no primeiro termo, f ( x sub 1) * delta ( x sub 1), a altura da primeira região vezes a largura da primeira região. A altura na verdade será zero, porque estou escolhendo a altura da região no lado esquerdo e o lado esquerdo em x = 0. Minha função em x = 0 é f (0) (1-0) = 0, porque 0 ^ 3 é 0.
Ok, e a segunda fatia? Vai de x = 1 a x = 2. Como estou usando uma Soma de Riemann do lado esquerdo, quero saber qual é a função em x = 1, o lado esquerdo desta fatia. f (1), então, é igual a (2-1) ^ 3, que é igual a 1. Essa é a altura da segunda fatia; e a largura? A largura é 2-1, que é apenas 1. Meu segundo termo torna-se 1 (1), que é apenas 1. E a terceira fatia? Por ser uma soma de Riemann do lado esquerdo, esta terceira fatia tem uma altura de f ( x sub 3), que é f avaliada em x = 2 e tem uma largura de 3 – 2. f(2) = 2 ^ 3 = 8 e 3-2 = 1, então esta terceira fatia tem uma área de 8 (1) = 8. Finalmente, minha quarta fatia tem uma altura de f avaliada em x = 3 e tem uma largura de 4-3, que é 1. f (3) = 3 ^ 3 = 27, então essa é a altura e a largura é 1 . A área total é 27 (1) = 27. Se eu somar todas essas áreas juntas, 0 + 1 + 8 + 27, obtenho uma área total de 36.
Soma de Riemann do lado direito
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Neste confronto gráfico de papel, você me pede uma Soma de Riemann do lado direito com n = 2. Portanto, agora tenho dois termos em minha Soma de Riemann, área # 1 e área # 2. A fatia nº 1 será avaliada como tendo uma altura em f de x = 2, porque é o lado direito desta fatia. A fatia # 2 será estimada como tendo uma altura em f de x = 4, o lado direito da fatia. Portanto, minha Soma de Riemann é f (2) (2-0) – essa é a largura desta primeira fatia – mais f (4) (4-2), a largura desta segunda fatia. Portanto, a área da primeira fatia é 2 ^ 3 = 8, vezes 2 = 16. A área da segunda fatia é 4 ^ 3 = 64, vezes 2 = 128. Quando eu os adiciono, obtenho uma área total de 144 .
Resumo da lição
Esta smackdown de papel mostrou a você algumas coisas sobre Riemann Sums. Lembre-se de que uma soma de Riemann é a área entre f (x) e o eixo x , e é dada pela soma de k = 1 a k = n de f ( x sub k ) * delta ( x sub k ) para cada um as n fatias. Você mede f ( x sub k ) no lado esquerdo para uma Soma de Riemann do lado esquerdo, no lado direito para uma Soma de Riemann do lado direito e no meio se você tiver uma Soma de Riemann de ponto médio.