Biología

Como fazer operações de vetor usando componentes

Componentes Vetoriais

Na física, adoramos manter as coisas simples. Mas nem tudo vai em linhas retas bem organizadas. Quando você atira uma bala de canhão em um navio pirata, esse navio pirata se move em pelo menos duas dimensões - a direção xe a direção y . Mas muitas de nossas equações físicas funcionam apenas em uma dimensão. Então, o que fazemos?

Nós quebrar vectores em x e y componentes. Observamos o movimento na direção xe o movimento na direção y separadamente.

Um vetor é uma quantidade que possui magnitude (tamanho numérico) e direção. Portanto, por exemplo, 20 metros por segundo não é um vetor e é chamado de velocidade, mas 20 metros por segundo ao sul é um vetor e é chamado de velocidade. Se esse vetor estiver apontado diagonalmente, para analisar o movimento, precisamos dividi-lo em componentes vertical ( y ) e horizontal ( x ).

Se sua bala de canhão for atirada em um ângulo raso, perto do solo, você terá um componente x maior e um componente y menor . Se sua bala de canhão for atirada quase para cima, você terá um componente y maior e um componente x menor . E podemos atribuir números a essas coisas e tratar o movimento nas duas dimensões (ou três dimensões, nesse caso) separadamente. Isso é extremamente útil para resolver problemas.

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Quebrando um vetor em componentes

Ok, então como fazemos isso? Usamos um pouco de geometria. A palavra que você já deve ter ouvido é: SOHCAHTOA. Isso nos ajuda a encontrar os lados de um triângulo retângulo quando conhecemos um dos lados e conhecemos um ângulo. A parte SOH nos lembra que o seno do ângulo é igual ao lado oposto do triângulo dividido pelo lado da hipotenusa do triângulo. A parte CAH nos diz que o cosseno do ângulo é igual ao lado adjacente do triângulo dividido pela hipotenusa. E a parte TOA diz que a tangente do ângulo é igual ao lado oposto do triângulo dividido pelo adjacente.

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Como você pode ver neste gráfico, o lado oposto é o lado diretamente oposto ao ângulo que você recebeu. A hipotenusa é o lado mais longo, a diagonal, que está sempre diretamente em frente ao ângulo reto. E o lado adjacente é o lado adjacente ou próximo ao ângulo reto e ao ângulo que você recebeu.

Ok, mas isso é física, não matemática. Então, por que precisamos saber disso?

Bem, se você está atirando em algo em um ângulo, ou tem qualquer tipo de vetor de física, como um vetor de força, vetor de campo elétrico ou o que quer que seja. Se você desenhá-lo em escala, poderá criar um triângulo retângulo a partir desse vetor. Um lado do triângulo deve apontar diretamente na direção x - perfeitamente horizontal. O outro lado deve apontar diretamente na direção y - vertical. E se você sabe o ângulo que está sendo filmado em, você pode usar esta geometria SOHCAHTOA para encontrar o x e y componentes da velocidade, ou força, ou o campo elétrico, ou seja o que for.

Então, por exemplo, com esta bala de canhão sendo disparada em um ângulo, estamos disparando em uma velocidade v , que é a hipotenusa, e isso tem um componente x , vx , e um componente y , vy . Podemos escrever algumas equações usando SOHCAHTOA. Ou apenas SOHCAH, porque usamos apenas seno e cosseno para dividir os componentes.

Podemos escrever uma equação usando seno. O seno do ângulo é igual ao lado oposto, que é vy , dividido pela hipotenusa, que é v . E também podemos escrever uma equação usando cosseno. O cosseno do ângulo é igual ao lado adjacente, que é vx , dividido pela hipotenusa, que é v . Reorganizar essas equações, e nós temos expressões para o x e y componentes da velocidade, v .

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Então é assim que encontramos nossos dois componentes. Mas talvez isso seja mais fácil se olharmos para um exemplo de problema.

Exemplo de problema

Digamos que você está empurrando uma mesa pelo chão, mas está empurrando para baixo e em ângulo. Isso significa que você está empurrando parcialmente para baixo e parcialmente para o lado - parcialmente na direção xe parcialmente na direção y . Você está empurrando em um ângulo de 30 graus com a horizontal e com uma força de 200 newtons. E você deve descobrir o quanto está empurrando para baixo e o quanto está empurrando para os lados - ou, em outras palavras, é necessário dividir essa força em componentes.

Podemos transformar essa força de empuxo em um triângulo retângulo, exatamente como antes, e encontrar os outros dois lados desse triângulo - o componente x , que chamaremos de Fx (força- x ), e o componente y , que vamos cair Fy . Você poderia fazer SOHCAHTOA novamente apenas para verificar, mas este na verdade é exatamente igual ao exemplo da bala de canhão. Fx é igual a F multiplicado pelo cosseno do ângulo, e Fy é igual a Fmultiplicado pelo seno do ângulo. Muitas vezes acontece ser assim, mas tome cuidado - se você conhecesse o outro ângulo do triângulo, ou se estiver trabalhando em um problema em uma inclinação, o seno e o cosseno podem se inverter. Portanto, é sempre bom verificar sua geometria.

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De qualquer forma, temos nossas equações. Agora vamos escrever o que sabemos. Sabemos que o ângulo, teta , é de 30 graus e sabemos que a força F é de 200 newtons. Portanto, podemos inserir esses números nas duas equações e resolver.

O componente x , Fx , é igual a 200 cosseno 30, o que dá uma força de 173 newtons. O componente y , Fy , é igual a 200 seno 30, o que dá uma força de 100 newtons. Então só temos isso. Se você empurrar para baixo uma mesa em um ângulo de 30 graus com a horizontal, com uma força de 200 newtons, estará empurrando para os lados com uma força de 173 newtons e para baixo com uma força de 100 newtons. Esses são nossos dois componentes.

Resumo da lição

Muitas coisas na vida real acontecem em duas (ou mesmo três) dimensões. O caminho de uma bala de canhão é para cima e para os lados, por exemplo. Podemos analisar este movimento, quebrando o vetor velocidade em x e y componentes. Podemos fazer a mesma coisa com forças aplicadas diagonalmente, ou vetores de campo elétrico, ou realmente qualquer coisa que seja uma grandeza vetorial e esteja agindo diagonalmente. Observamos o movimento na direção xe o movimento na direção y separadamente.

Se sua bala de canhão for atirada em um ângulo raso, perto do solo, você terá um componente x maior e um componente y menor . Se sua bala de canhão for atirada quase para cima, você terá um componente y maior e um componente x menor . Podemos descobrir os tamanhos desses componentes usando a geometria de um ângulo reto. Se desenharmos um vetor para representar a velocidade ou força, ou seja o que for que estamos dividindo em componentes, podemos então fazer um triângulo retângulo e usar SOHCAHTOA para descobrir os tamanhos dos outros dois lados do triângulo. Isso nos dará nossos x e y componentes, que pode ser extremamente útil na compreensão dos fenómenos físicos.

Resultados de Aprendizagem

Faça da sua missão atingir esses objetivos quando a lição terminar:

  • Lembre-se do que é um vetor
  • Determine os componentes de um vetor
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