Introdução
Ocasionalmente, você pode encontrar expressões com apenas dois termos de sinais opostos que não podem ser fatorados como uma diferença de quadrados. Um exemplo pode ser x ^ 3 – 27 ou 2y ^ 3 – 16. No entanto, é possível que essas expressões possam ser fatoradas como uma diferença de cubos , que é uma expressão de dois termos em que os termos têm sinais opostos e são cubos . Uma fórmula especial é usada para fatorar a diferença de cubos.
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Uma expressão é uma diferença de cubos?
Para ser fatorada como uma diferença de cubos, a expressão deve ter apenas dois termos com sinais opostos. Em outras palavras, um termo deve ser positivo e um termo deve ser negativo. Se os dois sinais forem iguais, você pode tentar fatorá-lo como uma soma de cubos. Além disso, cada termo deve ser um cubo ou o resultado da multiplicação da mesma expressão por três vezes. Por exemplo, x ^ 3 é um cubo, pois se você multiplicar x por ele mesmo 3 vezes, ou seja, x * x * x ou (x) ^ 3, você terminará com x ^ 3. Da mesma forma, 64 é um cubo, pois é igual a 4 * 4 * 4 ou (4) ^ 3. Os cubos também podem ter números e variáveis. 8y ^ 6 é um cubo porque a expressão (2y ^ 2) (2y ^ 2) (2y ^ 2) resultará em 8y ^ 6. Por exemplo, 5x ^ 3 e 27y ^ 4 não são cubos porque 5 não é um cubo e y ^ 4 não é um cubo. Observe que cada parte de um termo deve ser um cubo. Se esses dois critérios forem atendidos, então
Como fatorar uma diferença de cubos
Para fatorar uma expressão como uma diferença de cubos, você usará a fórmula mencionada anteriormente:
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Exemplos
As seguintes expressões podem ser fatoradas como uma diferença de cubos?
Exemplo 1: x ^ 3 – 27. Sim, os termos têm sinais opostos e podemos facilmente pensar em expressões que serão divididas em cubo para dar x ^ 3 (x) e 27 (3). Como agora você tem a = x e b = 3, você pode reescrever o problema original como (x) ^ 3 – (3) ^ 3. Inserir esses valores na fórmula resulta em (x – 3) (x ^ 2 + (x) (3) + 3 ^ 2). Simplificando (x) (3) para 3x e 3 ^ 2 para 9 dá uma resposta final de (x – 3) (x ^ 2 + 3x +9).
Exemplo 2: x ^ 4 – 8. Embora ambos os termos tenham sinais opostos, x ^ 4 não é um cubo perfeito. Portanto, essa expressão não pode ser fatorada como uma diferença de cubos.
Exemplo 3: -y ^ 3 + 1. Os termos têm sinais opostos e você deve ser capaz de reconhecer y ^ 3 e 1 como cubos de ye 1, respectivamente. No entanto, observe que os termos aparecem fora de ordem com o sinal ‘-‘ na frente, em vez de entre os termos. Isso é bom; podemos simplesmente mudar a ordem dos termos para 1 – y ^ 3 e então usar a fórmula da diferença de cubos para fatorá-la. 1 – y ^ 3 = (1) ^ 3 – (y) ^ 3 = (1 – y) (1 ^ 2 + (1) (y) + y ^ 2) = (1 – y) (1 + y + y ^ 2).
Exemplo 4: 3x ^ 6 – 24y ^ 3. Imediatamente você deve notar que 3 e 24 não são cubos, o que pode levá-lo a pensar que a resposta é não. No entanto, se você se lembrar das regras de fatoração, a primeira coisa a sempre verificar ao fatorar uma expressão é se existe um fator comum entre todos os termos. Espero que você veja um aqui. Um 3 pode ser fatorado de ambos os termos, o que resulta em 3 (x ^ 6 – 8y ^ 3). Então, a expressão restante é uma diferença de cubos com aeb sendo x ^ 2 e 2y, respectivamente. Assim, a fatoração é a seguinte:
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Resumo da lição
Fatorar uma expressão como uma diferença de cubos requer basicamente duas etapas. Primeiro, você deve verificar se sua expressão atende aos critérios para uma diferença de cubos por ter dois termos de sinais opostos que são ambos cubos. Lembre-se de que, para alguns problemas, pode ser necessário extrair um fator comum antes que isso seja verdade. Em seguida, se atender aos critérios, insira os valores na fórmula de diferença de cubos:
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Resumo da lição
Um cubo é um termo que se multiplica três vezes. Para fatorar uma expressão como uma diferença de cubos, você deve primeiro verificar se há apenas dois termos e se ambos os cubos têm sinais opostos. Você também pode precisar simplificar a expressão removendo um fator comum entre os termos.
Resultados de Aprendizagem
Esta lição pode prepará-lo para:
- Identifique os critérios para uma diferença de cubos
- Fatore uma expressão como uma diferença de cubos