Um Sistema Linear
Nesta vídeo-aula, falamos sobre o sistema linear , uma coleção de equações lineares. Lembre-se de que uma equação linear é uma equação de grau um com apenas duas variáveis, geralmente x e y . Nosso sistema, então, é uma coleção de duas ou mais dessas equações lineares. Normalmente vemos nossos sistemas lineares escritos como uma lista de equações com um colchete na frente deles, como este:
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Esta é a maneira mais comum de ver sistemas lineares escritos. Observe que temos nossos termos x primeiro, seguidos por nossos termos y , em seguida, um sinal de igual e, finalmente, nossa constante.
Uma Matriz Aumentada
A outra forma em que podemos escrever nossos sistemas lineares é chamada de matriz aumentada , que é uma combinação de duas matrizes. Se você olhar apenas para os coeficientes de nosso sistema linear junto com seu sinal, você pode dividir nosso sistema linear em uma matriz no lado esquerdo da equação e outra matriz no outro lado da equação. Combinar essas duas matrizes nos dá nossa matriz aumentada. Usamos uma linha vertical para observar onde nosso sinal de igual é que divide a matriz. Portanto, nossa matriz aumentada se parece com isto:
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Temos apenas nossos coeficientes listados. Nossos coeficientes são organizados em suas colunas apropriadas. Todos os coeficientes do termo x estão na primeira coluna, todos os coeficientes do termo y estão na segunda coluna e todas as nossas constantes estão na coluna final. As linhas verticais mostram onde está o sinal de igual. Podemos facilmente escrever nossas equações lineares diretamente no topo de nossos números de matriz, e você pode ver como os números se alinham perfeitamente entre si:
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Exemplo 1
Escrever uma matriz aumentada a partir de um sistema linear é fácil. Primeiro, você organiza suas equações lineares de forma que seus termos x sejam primeiro, seguidos por seus termos y , em seguida, seu sinal de igual e, finalmente, sua constante. Depois de ter todas as suas equações neste formato, tudo o que você precisa para transformá-las em uma matriz aumentada é anotar seus coeficientes junto com seus sinais positivos ou negativos. Para o sinal de igual, você usa uma linha vertical.
Vejamos como transformar esse sistema linear em uma matriz aumentada.
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Primeiro, nos certificamos de que todas as nossas equações estão organizadas de forma que os termos x sejam primeiro, seguidos pelos termos y , o sinal de igual e, em seguida, a constante. Observamos nossas equações e vemos que já estão neste formato. Agora podemos prosseguir e isolar todos os coeficientes. Para a primeira linha, temos 7, -8 e 1. A segunda linha temos -4, 3 e 0. Na terceira linha, temos 0, 4 e 9. Temos 0 primeiro porque não há x termo, então o número é 0. Agora podemos colocar todos esses números em ordem em nossa matriz aumentada usando uma linha vertical para o sinal de igual.
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E nós terminamos!
Exemplo 2
Vamos tentar outro. Vamos escrever este sistema linear em uma matriz aumentada.
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Olhando para nossas equações, vemos que precisamos reescrever nossa segunda equação para que o termo x venha primeiro. Reescrevemos para 3 x + 2 y = 4. Agora podemos isolar os coeficientes. A primeira linha tem 1, -1 e 2. A segunda linha tem 2, 3 e 4. Conectando-os em nossa matriz aumentada, obtemos o seguinte:
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E nós terminamos!
Resumo da lição
É bastante fácil e direto transformar um sistema linear em uma matriz aumentada. Vamos revisar o que aprendemos. Aprendemos que um sistema linear é uma coleção de equações lineares. Uma equação linear é uma equação com dois coeficientes e nenhum expoente. Um sistema terá pelo menos duas equações.
Uma matriz aumentada é uma combinação de duas matrizes e é outra maneira de escrever nosso sistema linear. Quando escrito dessa forma, às vezes é mais fácil trabalhar com o sistema linear. Para escrever nosso sistema linear na forma de matriz aumentada, primeiro nos certificamos de que nossas equações sejam escritas com o termo x primeiro, seguido pelo termo y , depois com o sinal de igual e, finalmente, a constante. Em seguida, isolamos nossos coeficientes junto com seus sinais e os colocamos em forma de matriz na ordem em que aparecem, linha por linha. Usamos uma linha vertical para representar o sinal de igual.
Resultados de Aprendizagem
Após esta lição, você será capaz de:
- Definir sistema linear e matriz aumentada
- Explicar como transformar um sistema linear em uma forma de matriz aumentada