Uma função quadrática
Esta lição é sobre como escrever funções quadráticas. Uma função quadrática é uma função polinomial de grau 2. Então, y = x ^ 2 é uma equação quadrática, assim como y = 3x ^ 2 + x + 1. Todas essas são funções polinomiais de grau 2. Freqüentemente você receberá a função quadrática para um problema específico. Você receberá vários pontos de dados ou um gráfico aproximando todos os pontos de dados combinados. Em seguida, é seu trabalho criar uma função quadrática que se adapte às informações fornecidas. Vamos ver como podemos fazer isso.
Dado um gráfico
Vamos começar escrevendo a função quadrática dada um gráfico. Digamos que recebamos este gráfico para trabalhar. Antes de começarmos a escrever nossa função quadrática, precisamos descobrir a localização do vértice, ou ponta da quadrática, junto com outro ponto. Olhando nosso gráfico, vemos que nosso vértice, nossa ponta, está em (0, -1). O outro ponto que podemos ver facilmente é (0,5, 0). Tendo encontrado esses dois pontos, podemos prosseguir. Usaremos a forma de vértice da função quadrática, que é:
F (x) = a (xh) ^ 2 + k
Onde a é uma constante eh e k são os valores xey do vértice (h, k). Lembre-se, nosso ‘f (x)’ é o mesmo que ‘y’. As etapas são as seguintes:
1. Insira os valores de vértice de hek na forma de vértice da função quadrática e simplifique
2. Agora, insira os valores xey do outro ponto na função quadrática simplificada da etapa 1
3. Resolva um
4. Agora, insira o valor a na função quadrática simplificada da etapa 1. Esta é a sua função quadrática
Vamos tentar agora: nosso vértice é (0, -1) e nosso outro ponto é (0,5, 0). Isso significa que nosso h = 0, k = -1, x = 0,5, y = 0. Portanto, começamos inserindo nossos valores hek. Nós entendemos isso:
Y = a (x-0) ^ 2 – 1
Simplificando, obtemos:
Y = ax ^ 2 – 1
Agora, conectamos nosso x e y; lembre-se de que nosso f (x) é o mesmo que y. Então, temos:
0 = a (0,5) ^ 2 – 1
Resolvendo para um, temos o seguinte:
0 = a (0,25) – 1
1 = 0,25a
4 = a
Colocando este valor em nossa função, y = ax ^ 2 – 1, obtemos:
Y = 4x ^ 2 – 1
Esta função então é a nossa resposta.
Dados Três Pontos
Agora vamos ver quais são as etapas quando recebemos três pontos em vez do gráfico. Digamos que nosso problema seja o seguinte: escreva a função quadrática para o gráfico que passa pelos pontos (-2,1), (-4,4) e (2,1). Para escrever a função quadrática para este problema, precisamos usar a forma geral da função quadrática, que é:
F (x) = ax ^ 2 + bx + c
Onde a, b e c são constantes. Novamente, lembre-se de que nosso f (x) é o mesmo que y. O que vamos fazer é criar um sistema de três equações que usaremos para resolver nossas três constantes desconhecidas, a, b e c. As etapas são as seguintes:
1. Insira os valores xey na forma geral da função quadrática e simplifique. Então, isso para todos os três pontos, de modo que você obtenha uma equação para cada ponto. Você deve ter três equações.
2. Resolva este sistema de três equações com substituição ou eliminação.
3. Insira seus valores encontrados para a, be c na forma geral da função quadrática. Simplifique para encontrar sua função quadrática que passa por todos os três pontos dados.
Vamos experimentar! Nossos três pontos são (-2,1), (-4,4) e (2,1). Colocando esses pontos na forma geral e simplificando, obtemos estas três equações:
Para o ponto (-2,1), temos 1 = a (-2) ^ 2 + b (-2) + c, que simplifica para:
1 = 4a – 2b + c
Para o ponto (-4,4), temos 4 = a (-4) ^ 2 + b (-4) + c, que simplifica para:
4 = 16a – 4b + c
Para o ponto (2,1), 1 = a (2) ^ 2 + b (2) + c, que simplifica para:
1 = 4a + 2b + c
Agora, pegando essas três equações e resolvendo o sistema por eliminação, temos o seguinte:
Podemos subtrair 1 = 4a – 2b + c de 4 = 16a – 4b + c para eliminar a variável c. Nós temos:
4 = 16a – 4b + c – 1 = 4a – 2b + c =
3 = 12a – 2b
Usando um par diferente de equações, eliminaremos novamente a variável c. Desta vez, vamos subtrair:
1 = 4a + 2b + c de 1 = 4a – 2b + c. Nós temos:
1 = 4a – 2b + c – 1 = 4a + 2b + c =
(0 = 0a – 4b) Isso simplifica para:
0 = -4b
Como a última equação que obtivemos 0 = -4b tem apenas uma variável, podemos prosseguir e resolver essa equação para essa variável. Se esta equação tivesse duas variáveis, usaríamos então a outra equação, 3 = 12a – 2b em combinação com esta equação para nos ajudar a resolver para a e b.
Como esse não é o caso, podemos prosseguir e resolver 0 = -4b para a variável b. Nós temos:
b = 0
Agora sabemos o que b é igual. Agora podemos inserir esse valor na equação 3 = 12a – 2b e resolver para a. Nós temos:
3 = 12a – 2 (0)
3 = 12a
a = 3/12
a = ¼
Agora temos a = ¼ eb = 0. Podemos agora usar esses dois valores e inseri-los em qualquer uma das três equações que escrevemos primeiro. Vamos inserir esses valores aeb na equação:
1 = 4a + 2b + c
Nós temos:
1 = 4 (1/4) + 2 (0) + c
1 = 1 + c
c = 0
Agora resolvemos todas as nossas variáveis. Nosso a = ¼, nosso b = 0 e nosso c = 0. Colocando-os de volta em nossa forma geral e simplificando, obtemos nossa função quadrática:
Y = ax ^ 2 + bx + c
Y = 1 / 4x ^ 2 + 0 (x) +0
Y = 1 / 4x ^ 2
Exemplo
Vejamos mais um exemplo. Escreva a função quadrática para o gráfico que passa pelos pontos (-1,0), (0, -1) e (1,0), onde (0, -1) é o vértice. Lendo este problema, vemos que temos três pontos e isso também nos diz que -1 é o vértice. Hmmm … podemos usar qualquer um dos métodos. Vamos fazer o método que usa a forma de vértice da função quadrática. Ele contém menos etapas e será mais curto e mais rápido de resolver.
Como nosso vértice é (0, -1), nosso h = 0 e nosso k = -1, podemos usar qualquer outro ponto para nosso segundo ponto. Vamos escolher (1,0). Portanto, nosso x = 1 e nosso y = 0. Então, inserimos nosso hek primeiro na forma de vértice e depois simplificamos. Nós temos:
Y = a (x-0) ^ 2 – 1. Simplificando, obtemos:
Y = a (x) ^ 2 – 1
Agora, conectando 1 para xe 0 para y, podemos resolver para a.
0 = a (1) ^ 2 – 1
0 = a – 1
a = 1
Agora que temos a, podemos inserir este valor em y = a (x) ^ 2 – 1 para encontrar nossa função quadrática, obtemos isto:
Y = (1) x ^ 2 – 1
Y = x ^ 2 – 1
E terminamos!
Resumo da lição
Vamos revisar o que aprendemos! Uma função quadrática é uma função polinomial de grau 2. A forma de vértice da função quadrática é:
F (x) = a (x – h) ^ 2 + k, onde a é uma constante eh e k são os valores xey do vértice (h, k).
Para escrever a função quadrática quando você conhece o vértice e um outro ponto, siga estas etapas:
1. Insira os valores de vértice de hek na forma de vértice da função quadrática e simplifique
2. Agora, insira os valores xey do outro ponto na função quadrática simplificada da etapa 1
3. Resolva um
4. Agora, insira o valor a na função quadrática simplificada da etapa 1. Esta é a sua função quadrática.
A forma geral da função quadrática é:
F (x) = ax ^ 2 + bx + c, onde a, b e c são constantes.
Para escrever a função quadrática quando você recebe três pontos, siga estas etapas:
1. Insira os valores xey na forma geral da função quadrática e simplifique. Faça isso para todos os três pontos para obter uma equação para cada ponto. Você deve ter três equações.
2. Resolva este sistema de três equações com substituição ou eliminação.
3. Insira os valores encontrados para a, b e c na forma geral da função quadrática. Simplifique para encontrar nossa função quadrática que passa por todos os três pontos dados.