Compreendendo as regiões geradas
 |
Você já assistiu um zagueiro realmente bom jogar uma bola de futebol, como ela gira ao longo de algum eixo? Se você cortar a bola ao meio em algum lugar ao longo desse eixo e pegar apenas a metade superior, conforme ela gira, essa fatia da bola de futebol parecerá uma bola de futebol inteira. Se girar muito rápido, essa região vai ‘criar’ o futebol inteiro. Em matemática, chamamos isso de região geradora em torno de um eixo de rotação . Isso significa que, se eu der essa região geradora e o eixo de rotação e você observar essa bola girar, você ‘gerará’ uma bola de futebol inteira. Se você for o receptor olhando para a bola que vem em sua direção, verá a região que está girando em torno do eixo como uma bola de futebol inteira.
Então, digamos que para uma bola de futebol, a região geradora é dada pelo eixo x na parte inferior e a função f (x) = 2- (1/2) ( x -2) ^ 2 na parte superior. Digamos que você queira encontrar o volume da bola de futebol que foi gerada por esta região geradora rotativa. Uma maneira de encontrar o volume de uma bola de futebol é dividindo-a.
O Método de Fatiamento
Imagine uma bola de futebol Nerf que você começa a cortar direto de trás para frente. Você o divide em muitos intervalos diferentes, transformando a bola de futebol em um monte de discos. Se quiser estimar o volume da bola de futebol, basta estimar o volume de cada disco e somar todos os discos, certo?
 |
Vamos estimar o volume de um disco. Um disco tem um volume de altura vezes a área da seção transversal. A altura é a espessura do disco ou da fatia que você tirou da bola de futebol Nerf (que é delta * x ), e a área da seção transversal é pi vezes o raio ao quadrado. Neste caso particular, nosso raio é dado pela parte superior de nossa função geradora, 2- (1/2) ( x -2) ^ 2. Você pode ver aqui que este raio é dado pela distância entre f (x) e o eixo x para qualquer disco ao longo do eixo x .
Assim, uma vez que tenho o volume de um único disco, posso encontrar o volume de toda a bola de futebol adicionando todos os volumes de todos os discos. Essa é a soma, sobre todos os discos, do volume de cada disco, ou a soma de k = 1 (disco 1) ao disco n de pi vezes o raio do disco ao quadrado ( pi * ( r sub k ) ^ 2) vezes a espessura do disco ( delta * x sub k ). Como pego um número infinito de discos, cada um com uma espessura infinitamente fina, acabo não apenas com uma grande estimativa do volume total, mas com uma integral, que é apenas uma soma de Riemann. É a integral do lado esquerdo, um, à direita, b , de pi ( r (x) ^ 2) * dx .
O Método do Disco
Então, vamos fazer isso para o nosso futebol, onde vamos de x = 0 no lado esquerdo para x = 4 no lado direito. Meu volume é de 0 a 4 de pi vezes o raio ao quadrado, que é 2- (1/2) ( x -2) ^ 2, tudo ao quadrado, vezes dx . Se eu calcular isso, vou acabar com o volume do meu futebol. Essa não é apenas a área da região. Como tenho pi e estou quadrando o raio, tenho toda a região que é gerada quando giro ao longo do eixo x . Isso é conhecido como método de disco para volumes de revolução . Neste método, calculamos o volume como sendo a integral de x = a parax = b de pi vezes o raio ao quadrado em x . Você pode imaginar isso apenas tendo em mente sua região geradora e seu eixo de rotação. Então você está pegando sua região geradora e girando-a, neste caso o eixo x , para terminar com algum tipo de figura cilíndrica como sua bola de futebol.
 |
O Método de Lavagem
Digamos que seu irmão mais novo não goste do fato de você poder jogar bem uma bola de futebol, e ele pega um cachimbo e o enfia na bola, como uma bola de futebol no espeto. Agora você tem seu futebol e um poste. Se você quiser saber o volume do seu futebol, pode voltar a pensar nele em termos de volumes de revolução. Digamos que eu tenha uma área geradora parecida com esta, então tenho minha bola de futebol aqui, e aqui é onde ele enfiou a vara nela. Se eu girar essa região geradora em torno do eixo x e olhar para ela de frente, acabo com uma bola de futebol com uma vara no meio. E se eu quiser encontrar o volume da minha nova bola de futebol com um furo?
Lembre-se que antes eu usava o método do disco para encontrar o volume da bola inteira, mas agora quero o volume da bola inteira menos o volume do mastro. Portanto, agora estou interessado apenas na região, não de 0 a 4, mas desse ponto a até b . Agora, o volume da minha bola de futebol, sem a vara e com as pontas cortadas, é o volume de a a b de pi (2- (1/2) ( x -2) ^ 2) ^ 2 * dx . Isso me dá o volume da região superior e, a partir disso, vou subtrair o volume do pólo, que é o volume de a a b de pi (1/2) ^ 2 * dx. Isso é porque y = 1/2 onde está o pólo, e ainda estou olhando para um volume por revolução, então ainda quero o pólo inteiro, não apenas a área da região superior.
 |
Então o que resta do meu futebol é o volume sem o mastro menos o volume do mastro. Isso é o que chamamos de método do lavador para localizar volumes. O método do lavador para encontrar os volumes é a integral de a a b de pi vezes o raio externo ao quadrado menos o raio interno ao quadrado, todos integrados em dx . Posso quebrar essa integral em duas integrais, ou seja, V = a integral de a a b de pi vezes o raio externo ao quadrado, dx , menos a integral de a a b de pi vezes o raio interno ao quadrado, dx. Isso é exatamente o que descobrimos quando encontramos o volume do nosso futebol e subtraímos dele o volume da pole.
Resumo da lição
Para encontrar o volume de um sólido de revolução – isto é, algum sólido que você pode fazer definindo uma região geradora e girando-o em torno de um eixo de revolução – você pode usar um de dois métodos. Temos o método de disco para volumes de revolução , que é onde pegamos um monte de discos, empilhamos uns sobre os outros, encontramos o volume de cada disco e os somamos. Usando o método do disco, o volume é a integral de a a b de pi vezes o raio ao quadrado vezes dx . A outra maneira relacionada de encontrar volumes é o método de lavagem . Neste método, o volume de revolução é dado por V = integral de a até bde pi vezes o raio externo ao quadrado menos o raio interno ao quadrado, todos integrados em dx . No caso do nosso futebol, esse é o raio externo, o raio da bola de futebol, menos o raio interno, o raio do mastro que seu irmão enfiou.