Passos para resolver o problema
Antes de passarmos às etapas de encontrar o inverso de uma matriz 4×4, vamos fazer uma revisão rápida de algumas definições e propriedades. Uma matriz é uma matriz de números. Uma matriz a x b possui a linhas eb colunas. Estamos trabalhando com uma matriz 4×4, então ela tem 4 linhas e 4 colunas. Um exemplo de uma matriz R 4×4 é mostrado na imagem a seguir.
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Um n x n matriz é uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas. A matriz de identidade é um n x n matriz que está representada com a letra I . Esta matriz tem uns ao longo da diagonal e zeros em todas as outras partes. Pense na matriz de identidade como o número 1. Se você multiplicar qualquer número por 1, obterá o número original de volta. Da mesma forma, para qualquer n x n matriz A , multiplicando A pela matriz identidade I lhe dará um . Em outras palavras, AI = IA = Uma .
O inverso de uma matriz Uma é a matriz B , de tal modo que AB = BA = I . Nem todas as matrizes têm uma inversa, mas se uma matriz tem uma inversa, então esta é a propriedade que segue. Ou seja, se multiplicarmos duas matrizes em ambas as maneiras, obteremos a matriz de identidade em ambas as instâncias.
Para multiplicar duas matrizes, encontre o produto escalar das linhas e colunas das duas matrizes, multiplicando os números correspondentes e, em seguida, somando-os. Por exemplo, para encontrar a entrada na primeira fileira e da primeira coluna de AB , tomar o produto de pontos da primeira linha da matriz um e a primeira coluna da matriz B . Multiplique cada entrada correspondente e some todos os produtos. Este número será igual à entrada na primeira linha e na primeira coluna da matriz AB . Em geral, a entrada na i- ésima linha e j- ésima coluna de AB será igual ao produto escalar da i- ésima linha deUm e o j ésima coluna de B . O seguinte mostra a imagem de multiplicação de matrizes de 2×2, mas o padrão se mantém para multiplicar quaisquer dois n x n matrizes em conjunto.
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A última coisa a revisar antes de encontrar o inverso de uma matriz 4×4 são as operações de linha . Existem três operações de linha que podemos realizar em uma matriz para produzir uma matriz equivalente. A comutação de linha permite a troca de quaisquer duas linhas. A multiplicação de linha permite que qualquer linha seja multiplicada por um escalar. (Observe que quando estamos trabalhando com matrizes, chamamos números regulares de escalares para não os confundir com uma matriz 1×1.) A última operação de linha é a adição de linha , o que nos permite adicionar quaisquer duas linhas juntas e então substituir uma de essas linhas com o resultado.
Agora que entendemos o básico, vamos falar sobre como encontrar o inverso de uma matriz 4×4. Em geral, existem três etapas básicas para encontrar o inverso de uma matriz A n x n . Essas etapas são verdadeiras para uma matriz 4×4.
Primeiro, configure as matrizes A e I uma ao lado da outra . Para fazer isso, configure uma matriz com A no lado esquerdo e a matriz identidade no lado direito. Separe os dois com uma linha reta. Em seguida, use operações de linha na matriz para alterar a matriz A para a matriz de identidade . Ou seja, use operações de linha na matriz para que você termine com uma matriz I | B . A matriz B é o inverso da matriz de um . Depois de concluir a etapa 2, você tem a matriz I | B e Bé o resultado da execução de todas as operações de linha necessários para transformar A em I .
Vejamos um exemplo disso. Suponha que desejemos encontrar o inverso da matriz R 4×4 que mostramos em nosso exemplo inicial. O primeiro passo seria configurar a matriz R | Eu . Em seguida, executar operações de linha para toda a matriz de mudança R a I . Agora temos matriz I e nova matriz S , que é o inverso de R .
A solução: para encontrar o inverso de uma matriz A 4×4 , execute operações de linha nas matrizes A | I para obter as matrizes I | B . B é a matriz inversa de A .
Verificando Seu Trabalho
Como dissemos, por definição, o inverso de uma n x n matriz A é a n x n matriz B , de tal modo que AB = BA = I . Portanto, se descobrimos que o inverso de uma matriz 4×4 A é B , então para verificar nosso trabalho, simplesmente multiplicamos AB e BA . Se chegarmos a matriz identidade em ambos os casos, então sabemos que nosso trabalho estava correto, e B é, na verdade, o inverso de A . É importante notar que a multiplicação da matriz não é comutativa, por isso é imperativo que verifiquemos ambosAB e BA .
Considere nosso exemplo com a matriz R . Encontrámos o inverso para ser matriz S . Para verificar se nosso trabalho está correto, multiplique RS e SR e verifique se obtivemos a matriz de identidade em ambas as instâncias.
Vemos que RS = SR = 1 = I ; por isso, o nosso trabalho é correcta, e a matriz de S é o inverso da matriz de R .
Resumo da lição
Uma matriz é uma matriz de números cujo tamanho é determinado como a x b , onde a é o número de linhas eb é o número de colunas. Matrizes com as mesmas dimensões podem ser multiplicadas umas pelas outras. A matriz de identidade é uma matriz denominada I , onde há uns ao longo da diagonal da parte superior esquerda para a inferior direita. Você pode realizar várias operações de linha em uma matriz para produzir uma matriz equivalente, incluindo troca de linha , multiplicação e adição de linha . Encontrando o inverso de uma matriz A 4×4é uma questão de criar uma nova matriz B usando operações de linha de modo que a matriz de identidade seja formada. Para verificar isso, multiplicam a matriz original A vezes a nova matriz B e B vezes A .