A definição de uma elipse
Quando pensamos em formas geométricas, a palavra elipse não vem imediatamente à mente, mas as elipses são mais comuns do que pensamos. Eles podem ser muito pequenos, como o ovo de um pássaro, ou muito grandes, como a órbita da Terra ao redor do sol. Uma elipse é uma forma geométrica que se parece com um círculo esticado que foi puxado horizontalmente ou verticalmente. Uma elipse pode ser ainda definida pela nomenclatura dois pontos importantes na elipse como o focos (o plural de focagem), os pontos, F e G . Outro ponto na elipse será chamado P .
Encontrando os eixos principais e secundários
Ok, prepare-se para um pouco de vocabulário! O ponto no centro da elipse é o centro da elipse. Essa foi fácil! Em seguida, desenhamos uma linha através do centro conectando os focos em cada extremidade da elipse. A linha mais longa é o eixo principal . O eixo principal conecta F e G , que são os vértices , os pontos da elipse. Se desenharmos uma linha de 90 graus ou perpendicular ao eixo principal, a linha curta será o eixo menor . Os pontos que o eixo menor conecta são os co-vértices . É muito vocabulário, mas é necessário para encontrar o eixo maior de uma elipse.
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Como conhecemos os focos F e G e outro ponto na elipse, encontrar o eixo principal não foi tão difícil. Ora, aqui está uma regra fácil de lembrar sobre elipses: Como FP + GP é constante para todos os pontos da elipse, também é o mesmo para qualquer ponto, P e um vértice (o singular dos vértices), conforme mostrado no próximo diagrama:
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A equação do comprimento do eixo principal seria assim:
FP + GP = FV + GV
FV e GV nos fornecem o comprimento do eixo principal. Se F e G são os focos de uma elipse e P é qualquer ponto na elipse, o eixo maior também é conhecido como FP + GP .
Agora que sabemos os focos e um ponto na elipse, podemos seguir três etapas fáceis para encontrar o eixo principal:
- Etapa 1: use a fórmula da distância para encontrar FP
- Etapa 2: use a fórmula da distância para encontrar GP
- Etapa 3: Adicionar FP e GP
Muito simples, hein? É uma boa ideia revisar a fórmula da distância, já que a usaremos para encontrar as distâncias. A fórmula da distância usada para encontrar a distância entre ( x 1 , y 1 ) e ( x 2 , y 2 ) é encontrada nesta imagem:
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Soluções para um problema
Agora, para encontrar o eixo principal na imagem acima, tudo o que precisamos é dos focos, F e G , e P , como o ponto na elipse. Em seguida, seguimos estas três etapas:
- Etapa 1: use a fórmula da distância para encontrar FP
- Etapa 2: use a fórmula da distância para encontrar GP
- Etapa 3: Adicionar FP e GP
Agora que sabemos como encontrar o eixo maior de uma elipse, vamos colocá-lo em prática! Lembre-se, no início desta lição, uma órbita planetária ao redor do sol é apenas outra elipse. Agora, vamos pensar sobre a órbita da Terra em torno do Sol. Os números serão uma estimativa aproximada, mas muito próxima – em alguns milhões de milhas ou mais. Quando a Terra orbita o Sol, ela segue o caminho de uma elipse, onde o Sol é um dos focos.
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O comprimento do eixo maior será a maior distância entre os dois pontos pelos quais a Terra passa durante sua órbita. Vamos descobrir o comprimento do eixo principal:
Se colocarmos a órbita da Terra em uma grade com seu ponto central na origem de um sistema de coordenadas x – y , e x e y estão em milhões, então os focos estariam nos pontos F com coordenadas (-1,6, 0) e G com coordenadas em (1.6, 0). Em algum ponto durante sua órbita, a Terra passaria por P com coordenadas (50, 77), conforme mostrado na próxima imagem:
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Isso pode parecer intimidante, mas vamos dar um passo de cada vez. Primeiro, encontraremos FP usando a fórmula da distância:
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Vemos que FP ≈ 92,69 milhões de milhas . A seguir, usaremos a fórmula da distância novamente para encontrar GP :
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A resposta para o GP ≈ 90,95 milhões . A próxima e última etapa é a mais fácil: basta adicionar FP + GP . Então:
92,69 milhões + 90,95 milhões = 183,64 milhões de milhas
Agora sabemos o comprimento do eixo principal da órbita da Terra em torno do sol. Uau, é incrível que encontrar o eixo principal de uma elipse seja realmente muito simples, mas pode ser usado para algo tão avançado como a exploração espacial. Podemos ver que o estudo da matemática pode atingir todo o espaço sideral!