Configurando o problema
Henry é um estudante de graduação que está trabalhando há meses em um problema de teoria financeira. Ele vê os resultados de seus dados mais recentes em um e-mail em seu telefone enquanto está mochilando. Ele ficou com um conjunto de quatro equações e quatro incógnitas que ele pode configurar em uma matriz 4 x 4, conforme mostrado aqui:
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Henry está muito, muito interessado em saber qual é o determinante dessa matriz. O que é determinante e por que Henry está tão interessado? Um determinante é um número único e específico associado a uma matriz quadrada. Se o determinante dessa matriz for igual a zero, isso significará pelo menos mais alguns meses de pesquisa. Mas se o determinante for diferente de zero, ele terá feito uma descoberta significativa em sua área e poderá se graduar no próximo ano.
Henry tenta várias vezes navegar até um site de calculadora determinante, que responderia sua pergunta em alguns segundos, mas o sinal está muito fraco e continua travando. Eventualmente, sua bateria morre, deixando-o apenas com a opção de calcular o determinante manualmente. Ele geme e pega o lápis e o papel. Vamos dar uma olhada mais de perto em como ele encontra o determinante.
Existem várias maneiras de encontrar o determinante de uma matriz 4 x 4, mas mostraremos como fazer isso usando a expansão ao longo de qualquer linha ou coluna de uma matriz. Quando você escolheu qual coluna ou linha expandir, então o determinante é simplesmente cada elemento nessa linha ou coluna multiplicado pelo determinante da submatriz desse elemento com o sinal apropriado. Uma submatriz é a parte da matriz original que não inclui os elementos na mesma linha ou coluna do elemento atual. Isso parece um pouco confuso, mas na verdade é muito fácil depois de ver como é feito. Chegaremos ao primeiro exemplo em breve.
Primeiro, precisamos conversar sobre o sinal apropriado que acabamos de mencionar. Na matriz aqui, mostramos os sinais associados aos elementos sendo expandidos.
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Por exemplo, se você fosse expandir a linha superior de uma matriz 4 x 4, o primeiro e o terceiro elementos da linha seriam multiplicados por +1, enquanto o segundo e o quarto elementos seriam multiplicados por -1.
Agora que entendemos esses sinais e o que é uma submatriz, podemos escolher uma linha ou coluna para expandir. Mas qual seria mais fácil de expandir? Acontece que a linha ou coluna com mais zeros é responsável pelo menor número de cálculos usando o método de expansão. Olhando nossa matriz, a terceira coluna tem dois zeros de quatro elementos. Isso significa que nosso trabalho será reduzido pela metade se escolhermos esse método.
Agora que escolhemos uma coluna, podemos expandir ao longo dessa coluna. Como fazemos isso? Primeiro, vamos mostrar o que faremos usando palavras, e então veremos os determinantes da submatriz escritos.
Para expandir ao longo da terceira coluna, teremos quatro termos:
(+1) (3) multiplicado por (determinante da submatriz do elemento na primeira linha, terceira coluna)
(-1) (0) multiplicado por (determinante da submatriz do elemento na segunda linha, terceira coluna)
(+1) (- 2) multiplicado por (determinante da submatriz do elemento na terceira linha, terceira coluna)
(-1) (0) multiplicado por (determinante da submatriz do elemento na quarta linha, terceira coluna)
Por que optamos por expandir uma coluna com muitos zeros? Porque o produto de 0 por qualquer coisa é sempre igual a zero. Dos nossos quatro termos que acabamos de cobrir, o segundo e o quarto termos serão automaticamente zero porque têm o zero como multiplicador. Isso significa que podemos pular o cálculo do determinante das submatrizes dos elementos zero, o que é uma boa notícia para quem calcula os determinantes manualmente.
Na forma de matriz, nossos dois termos têm a seguinte aparência:
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Portanto, reduzimos nosso cálculo de um determinante 4×4 a um par de determinantes 3×3 e alguma adição e multiplicação. Existem várias maneiras de calcular os determinantes 3×3. Estamos usando o método de expansão, e isso funciona muito bem para determinantes 3×3. Vamos simplificar o primeiro termo com uma matriz 3×3. A linha do meio tem um zero, então isso seria um bom candidato à expansão. Isso parecerá assim:
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Da mesma forma, podemos expandir o segundo termo da matriz 3×3 ao longo da linha superior e avaliar:
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Solução para o problema
Somando esses dois resultados, você terá a resposta final para todo o determinante:
-48 + 16 = -32
Henry dá um grito de alegria. Após anos de esforço, sua pesquisa finalmente alcançou um resultado de sucesso!
Verificando Seu Trabalho
Como Henry está no deserto, ele precisa verificar o resultado manualmente. Infelizmente, não há atalho para essa verificação dupla. Envolve repassar cada pequeno passo do processo e verificar se cada sinal está correto e se a multiplicação e a adição foram feitas corretamente. A maneira muito mais fácil de verificar o determinante de uma matriz 4×4 é usar um programa de computador, site ou calculadora que tratará dos determinantes da matriz. O que Henry levou 10 minutos para calcular na trilha de caminhada levaria apenas alguns segundos para descobrir usando esses outros métodos.
Isso traz outro ponto: é muito incomum calcular um determinante 4×4 manualmente, a menos que você esteja trabalhando em algo com uma variável. Os programas de computador não lidam bem com os cálculos das variáveis. Para esses problemas, é essencial conhecer o processo de localização do determinante.