Áreas Simples
 |
Sabemos que a área abaixo de uma curva é igual à integral dessa região e sabemos que podemos usá-la para encontrar áreas como a quantidade de propriedade que você possui. Então, vamos dar uma olhada nisso com mais detalhes. Digamos que você tenha um pedaço de propriedade que encontrou ao lado do shopping e que é delimitado na parte de trás e no lado leste por um rio . No lado sul, é delimitado por uma estrada e, claro, no lado oeste fica o fantástico shopping e superplex.
O rio segue alguma função, f (x) , onde x é uma variável ao longo da estrada ey , ou f (x) , é a distância da estrada. Essa função é igual af (x) = 4 para x menor que 4 e 4 – ( x – 4) ^ 3 para valores de x maiores ou iguais a 4. Dada esta função, você pode calcular a área de seu direito de propriedade? Apenas encontrando a integral de zero a – espere um segundo. Onde sua propriedade termina no lado leste? Termina onde o rio encontra a estrada, mas onde fica esse ponto? Não podemos encontrar a área se não tivermos um limite superior para essa integral.
Portanto, antes que possamos fazer qualquer coisa – antes de podermos calcular essa área, precisamos determinar onde esse ponto está. Qual valor de x está bem aqui? Vamos dar uma olhada no rio e, em particular, na função f (x) naquela borda leste da propriedade. A função do rio daquele lado é igual a 4 – ( x – 4) ^ 3. Você sabe disso porque quando f (x) = 4, você está realmente correndo paralelo à estrada, então nunca vai descer e cair na estrada. Você pega a estrada para um valor de x maior que 4. Então, qual é esse valor de x ? Bem, se a estrada está em y = 0 e o rio está em y = f (x), então você está procurando o ponto onde 0 = 4 – ( x – 4) ^ 3. Ou seja, onde f (x) = 0, onde esses dois pontos se encontram, o rio e a estrada. Então, qual é esse ponto? Bem, se você definir 0 = 4 – ( x – 4) ^ 3, poderá resolver para x .
 |
Primeiro, vou adicionar ( x – 4) ^ 3 a ambos os lados da equação e, em seguida, vou tirar a raiz cúbica de ambos os lados da equação. Acabo com x – 4 = raiz cúbica de 4. Neste ponto, vou adicionar 4 a ambos os lados, então obtenho x = 4 + a raiz cúbica de 4, e isso é cerca de 5,6. Portanto, vamos tomar nossa integral de 0 a x = 5,6. Este ponto aqui, onde o rio encontra a estrada – como encontramos essa integral exatamente? Bem, esta integral segue f (x) , mas f (x) tem duas equações diferentes: uma para valores de x menores que 4 e uma para valores de x maiores que 4. Então o que eu preciso fazer é dividir minha integral em duas partes diferentes: uma parax menor que 4 e um para x maior que 4.
Depois de dividir minha região em duas regiões menores e diferentes, posso notar algo. Quando f (x) = 4 para x menor que 4, tenho apenas um quadrado. Quando x é menor que 4, f (x) vai ser igual a 4, então para esta primeira região aqui, eu só tenho um quadrado. O quadrado tem 4 de largura e 4 de altura. Portanto, 4 de largura e 4 de altura – bem, posso realmente encontrar uma área disso apenas usando a geometria. É 4 ao quadrado. A área desta região é igual a 16. Então, talvez eu não precise resolver duas integrais afinal. Talvez em vez de resolver a integral de 0 a 4 de f (x) e a integral de 4 a 5,6 de f (x) , eu possa substituir essa integral de 0 a 4 de f (x)com 16. Afinal, essa é essa área aqui; é a mesma coisa. Portanto, minha área total agora é igual a 16 mais a integral de 4 a 5,6 de 4 – ( x – 4) ^ 3.
 |
Calculando o Integral
Então, vamos calcular essa integral: (4 – ( x – 4) ^ 3) dx . Vou dividir isso em duas integrais diferentes: uma com o primeiro termo de 4 e outra com o termo – ( x – 4) ^ 3. A integral de 4 dx é muito fácil. É apenas 4 x avaliado entre o limite inferior de 4 e o limite superior de 5,6. Portanto, é o mesmo que (4 * ( x = 5,6)) – (4 * ( x = 4)). Portanto, (4 * 5,6) – (4 * 4). Isso me dá apenas 6.4.
Para este segundo termo, essa integral de 4 a 5,6 de ( x – 4) ^ 3, vou usar uma substituição u . Vou colocar u = x – 4. Isso está entre parênteses aqui. E du então é a derivada disso, que é igual a dx . Quando eu ligar estes em minha integrante, recebo o integral de u ^ 3 du , o qual é igual a (1/4) u ^ 4 + minha constante de integração, C . Se eu inserir u = x – 4, esta integral indefinida é igual a 1/4 ( x– 4) ^ 4. Posso usar isso nesta integral definida apenas usando esta antiderivada aqui, de modo que essa integral se torne 1/4 ( x – 4) ^ 4 avaliada entre x = 4 e x = 5,6. Agora lembre-se de que tenho um sinal de menos entre esses termos. Então, vamos colocar isso na frente, só para me lembrar que está lá. Se eu avaliar 1/4 (5,6 – 4) ^ 4 e subtrair 1/4 (4 – 4) ^ 4, obtenho 1,6. Portanto, minha integral total de 4 – ( x – 4) ^ 3 de x = 4 a x = 5,6 é igual a 6,4 – 1,6, que é igual a 4,8.
Voltando ao problema original, onde eu estava tentando encontrar a área agora desta pequena região próxima ao meu grande quadrado, descobri que esta pequena região tem uma área de 4,8. Eu adiciono isso à área do meu quadrado, que é 16, e obtenho uma área total de 20,8. Eu realmente espero que sejam 20,8 milhas, porque eu não tenho unidades nela, mas dada a minha sorte, são provavelmente 20,8 pés quadrados.
 |
Resumo da lição
Então, vamos revisar. A área será a parte integrante de qualquer região em que você esteja interessado. Digamos aqui, é a parte integrante deste caminho do rio entre o shopping e a margem leste da minha propriedade. Agora, como no caso desta propriedade, podemos precisar encontrar as raízes da equação. Nesse caso, é onde o rio encontra a estrada. Também podemos precisar quebrar nossa integral em várias partes. Especialmente se você tiver f (x) igual a várias funções para diferentes valores de x .