Quadrados de Números
Você já cultivou uma planta em um copo para ver suas raízes crescerem? Você já viu raízes crescerem em um quadrado perfeito? Não? Nem eu. E, de fato, raízes de plantas que crescem em polígonos não têm nada a ver com raízes quadradas.
Então, o que são raízes quadradas? Antes de aprendermos como encontrar raízes quadradas, vamos revisar rapidamente os quadrados. O quadrado de um número é apenas um número multiplicado por ele mesmo. Se nosso número for n , então n elevado à segunda potência é n ao quadrado. Escreveríamos 3 ao quadrado assim:
3 2
O quadrado significa apenas que é elevado a uma potência de dois ou tem um expoente de dois, o que significa a mesma coisa.
Por que é chamado de quadrado? Imagine que você está plantando sementes no solo real. Digamos que sejam tomates. Você quer formar um quadrado de tomateiros de 3 por 3. Isso é um, dois, três desta forma e um, dois, três desta forma:
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Quantas plantas você vai ter? 3 * 3 ou 9. É por isso que um número multiplicado por si mesmo é chamado de quadrado.
Alguns números são chamados de quadrados perfeitos. Esse é o número que você obteria ao elevar ao quadrado um número inteiro. Comece com 1. 1 é um quadrado perfeito: 1 * 1 = 1. O próximo quadrado perfeito é 4: 2 * 2 = 4. Depois disso, há 9, então 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 , e assim por diante.
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Raízes quadradas
Isso nos leva a raízes quadradas. Uma raiz quadrada é o inverso de um número ao quadrado. Em outras palavras, a raiz quadrada de n 2 é n .
Usamos o símbolo de verificação para indicar uma raiz quadrada: √. Isso é chamado de sinal radical. Radical não é apenas uma palavra usada por surfistas dos anos 80 e tartarugas Ninja. Em matemática, a palavra ‘radical’ realmente significa ‘raiz’. E sabe de uma coisa? Aquela linha que se estende parece a raiz de um de nossos tomates mergulhando no solo.
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Raízes quadradas de quadrados perfeitos
Digamos que vejamos: √4. Nós chamaríamos isso de raiz quadrada de 4. Também podemos dizer raiz 4 ou radical 4. Todas essas frases significam a mesma coisa. Queremos saber qual é o número 4 ao quadrado.
Claro, sabemos que 2 * 2 = 4. Portanto, nossa resposta aqui é 2. Você pode pensar nisso como uma árvore. Um enorme carvalho cresce a partir de uma pequena bolota. Da mesma forma, a raiz de 4 é 2.
Raízes quadradas de quadrados imperfeitos
Até agora, temos usado apenas quadrados perfeitos, mas no mundo real, as coisas nem sempre funcionam tão bem. E se você quiser encontrar a raiz quadrada de 3? Não há número que possamos elevar ao quadrado para obter 3, então este não é um quadrado perfeito. Para estimar a raiz quadrada de um número como este, vamos ter que seguir algumas etapas.
Etapa 1: Encontre os dois quadrados perfeitos entre os quais o quadrado imperfeito se encontra. No caso de 3, é 1 e 4.
- √1 = 1
- √4 = 2
Etapa 2: divida o número que você está tentando encontrar a raiz quadrada pela raiz quadrada de um desses dois quadrados perfeitos. Não importa qual você escolha.
- 3/2 = 1,5
Etapa 3: calcule a média desse número e o número que você escolheu na etapa anterior.
- (2 + 1,5) / 2 = 1,75
Etapa 4: Repita as etapas dois e três usando este número na etapa dois em vez da raiz quadrada que você escolheu originalmente. Quanto mais você fizer essa repetição, mais precisa será sua estimativa. Vamos tentar mais uma vez.
Passo 2
- 3 / 1,75 = 1,71
etapa 3
- (1,75 + 1,71) / 2 = 1,73
Se verificarmos o que √3 está usando uma calculadora, podemos ver que é aproximadamente 1,73. Isso é o que encontramos, então nossa estimativa é muito boa!
Prática de Raiz Quadrada
Vamos praticar! Com números pequenos, como 4, é bastante fácil descobrir a raiz quadrada. Mas e quanto a um número maior? E se tivéssemos raiz quadrada de 196? É como uma sequóia. Como podemos descobrir sua raiz quadrada?
Precisamos fatorar ou quebrar o número em pequenas partes. Como o fator ainda estará sob nosso signo radical, é inteligente tentar fatorar quadrados perfeitos.
Vamos começar com 4. 4 vai para 196? Sim!
196/4 = 49
Portanto, agora temos √4 * √49. Bem, espere. 49 é familiar, não é? Vimos isso antes, quando olhávamos para quadrados perfeitos: 7 * 7 = 49. Também já sabemos que √4 = 2. Portanto, podemos resolver esses radicais menores e mais fáceis para obter 2 * 7.
√4 * √49 = 2 * 7
2 * 7 = 14
Devemos verificar se esta resposta está correta:
14 * 14 = 196
Adivinha? Isto é! Acabamos de resolver o root 196!
Agora vamos tentar encontrar a raiz quadrada de nossa resposta também. Infelizmente, 14 não é um quadrado perfeito, então teremos que usar nossa técnica de estimativa. Os dois quadrados perfeitos entre os quais 14 se enquadra são 9 e 16.
√9 = 3
√16 = 4
Em nossa segunda etapa, vamos escolher dividir por 4.
14/4 = 3,5
Nossa terceira etapa nos diz para obter a média de 3,5 e 4.
(3,5 + 4) / 2 = 3,75
Se verificarmos com uma calculadora, a raiz quadrada de 14 é 3,74. Poderíamos repetir as etapas dois e três com 3,75 em vez de 4 para obter uma resposta mais precisa, mas nossa estimativa já é bastante precisa, então vamos parar por aqui.
Resumo da lição
Para resumir, começamos revisando os quadrados. Um quadrado é um número multiplicado por ele mesmo ou elevado à potência de 2.
Uma raiz quadrada é o inverso de um número ao quadrado. Podemos dizer que a raiz quadrada de n 2 é n .
n * n = n 2
Uma raiz quadrada usa um sinal radical. Com números pequenos, podemos descobrir rapidamente a raiz quadrada. Com números maiores, usamos a fatoração para dividi-los em números menores até obtermos nossa resposta. Se o número com o qual estamos trabalhando não for a raiz de um quadrado perfeito, podemos usar uma técnica de estimativa para encontrar sua raiz.