Escolhas
Escolhas! Compre o bolo pronto ou faça-o com ingredientes fundamentais como farinha, ovos e leite? O problema pode ser tempo ou disponibilidade. Talvez a loja esteja fechada ou talvez não haja tempo para fazer um bolo do zero.
Muitas vezes existem escolhas semelhantes em matemática: use uma fórmula ou obtenha a resposta de ideias mais simples. Nesta lição, calcularemos a distância de um ponto a uma linha usando uma fórmula, bem como determinaremos essa distância usando ideias e equações fundamentais. Tal como acontece com um bolo, os resultados serão os mesmos?
O ponto e a linha
Imagine uma linha e um ponto no espaço bidimensional.
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Poderíamos estar calculando a distância de uma estrada a um endereço ou a distância da linha da zona final até a localização de um jogador em campo. Em todos esses casos, temos a equação de uma reta e as coordenadas de um ponto.
Para nosso exemplo, a equação da reta é y = (1/2) x – 1 e o ponto ( x 1, y 1) está localizado no ponto (2, 3).
Usando uma fórmula para obter a distância
Ter a equação da linha na forma a x + b y + c = 0 e saber as coordenadas do ponto nos dá a distância do ponto até a linha usando a fórmula:
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E se a equação da reta tiver alguma outra forma? Esta é a situação em nosso exemplo onde a linha y = (1/2) x – 1 está na forma de declive-interceptação . Vamos converter para a forma a x + b y + c = 0. Primeiro, multiplique ambos os lados da equação por 2 para obter 2 y = x – 2.
Em seguida, transfira todos os termos para o mesmo lado e organize a equação de forma que o termo x seja o primeiro: x – 2 y – 2 = 0.
Comparando esta equação a a x + b y + c = 0, identificamos: a = 1, b = -2 e c = -2. A localização do ponto diz que x 1 é 2 ey 1 é 3. Substituindo na fórmula a distância:
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E se essa fórmula de distância não estivesse disponível? Podemos determinar a distância usando algumas ideias de geometria e álgebra? É como cozinhar com ingredientes fundamentais como alternativa à compra de produtos prontos da loja. Para praticar, vamos fazer isso. Vamos pegar um ingrediente de cada vez.
Distância sem a fórmula
Isto vai ser divertido! Primeiro, visualize uma linha perpendicular à nossa linha. A linha perpendicular forma um ângulo reto (90 o ) com nossa linha. Além disso, queremos que a linha perpendicular passe pelo ponto ( x 1, y 1).
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A próxima ideia é escrever a equação desta reta perpendicular. Usamos a forma de declive-ponto de uma linha: y – y1 = m ( x – x1). Muito conveniente! Conhecemos um ponto na linha perpendicular: ( x 1, y 1). E a inclinação ‘m’? A inclinação ‘m’ é o recíproco negativo da linha de exemplo. A inclinação da linha do exemplo é ½. O recíproco negativo de ½ é -2. Substituindo em y – y1 = m ( x – x1) dá: y – 3 = -2 ( x – 2).
Estamos chegando muito perto! A linha perpendicular cruza a linha do exemplo em ( x 2, y 2).
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Para encontrar este cruzamento, resolvemos para x e y nas duas equações: x – 2 y – 2 = 0 e y – 3 = -2 ( X – 2).
De x – 2 y – 2 = 0, podemos escrever x = 2 y + 2.
Substituindo o lado direito, 2 y + 2, por x em y – 3 = -2 ( x – 2) resulta: y – 3 = -2 (2 y + 2 – 2) = -2 (2 y + 0 ) = -4 y . Agora temos y – 3 = -4 y .
Resolvendo y – 3 = -4 y para y dá: y + 4 y = 3 e então 5 y = 3 e finalmente y = 3/5 = 0,6. Este é o valor y 2.
Para encontrar x 2, substitua y = 3/5 em x = 2 y + 2, dando-nos x = 2 (3/5) + 2 = 6/5 + 10/5 = 16/5 = 3,2.
Assim, o ponto de cruzamento ( x 2, y 2) é (3,2, 0,6).
A distância do ponto à linha é a distância entre ( x 1, y 1) e ( x 2, y 2):
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Encontramos esta distância entre dois pontos usando a equação da distância :
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Esta é a mesma distância de antes. Parece que você pode comprá-lo em uma loja ou fazer à mão.
Resumo da lição
Uma fórmula para a distância de um ponto a uma linha é escrita em termos das constantes ‘a’, ‘b’ e ‘c’ e as coordenadas ( x 1, y 1) do ponto. As constantes são identificadas a partir da equação da linha escrita na forma a x + b y + c = 0. Se uma equação linear estiver em alguma outra forma, como a forma de declive-interceptação ou a forma de declive-ponto , ela primeiro é convertida para a forma a x + b y + c = 0. A distância de um ponto a uma linha também pode ser encontrada determinando a equação para a linha perpendicular que passa por ( x 1, y1) e encontrando as coordenadas do ponto de cruzamento ( x 2, y 2). A equação da distância calcula a distância entre os pontos ( x 1, y 1) e ( x 2, y 2). O resultado é idêntico à fórmula da distância.