Como dividir polinômios com divisão longa

Polinomial Divisão Longa

A divisão longa polinomial é muito semelhante à divisão longa que fazíamos quando crianças, exceto que agora temos números ex s. Leva apenas duas etapas que são repetidas até que você termine.

1. Divida os primeiros termos.
2. Multiplique o resultado do divisor e, a seguir, subtraia do dividendo .
3. Repetir!

Vamos revisar as partes de um problema de divisão. Temos o divisor dividido pelo dividendo e, claro, nossa resposta é o quociente .

Exemplo 1

Aqui está nosso primeiro exemplo: ( x ^ 2 + 7 x + 12) / ( x + 3).

Para preencher nossa divisão longa, x ^ 2 + 7 x + 12 é o dividendo, então ele vai sob o símbolo de divisão longa. x +3 é o divisor, então vai para fora, na frente do símbolo de divisão longa. Agora estamos prontos para iniciar a divisão. As etapas são sempre as mesmas. É mais fácil mostrar e falar sobre as etapas do que listá-las, então vamos dar uma olhada. Para encontrar o primeiro termo do quociente, pegamos os primeiros termos do divisor e do dividendo e os dividimos. Gosto de escrevê-los como uma fração; é mais fácil dividir ou reduzir: x ^ 2 / x = x . xé o primeiro termo do quociente; nós o escrevemos acima do símbolo de divisão longa. Para descobrir o que subtrairemos do dividendo, multiplicamos x vezes o divisor, x +3: x ( x +3) = x ^ 2 + 3 x . x ^ 2 + 3 x é escrito sob o dividendo, correspondendo a termos semelhantes. É aqui que eu gosto de tornar a vida mais fácil. Para subtrair os polinômios, eu simplesmente mudo seus sinais e adiciono! Portanto, x ^ 2 – x ^ 2 = 0 e 7 x – 3 x = 4 x . Assim como fizemos na divisão longa, reduzimos o próximo mandato, que é 12.

Pegue os primeiros termos do divisor e dividendo e divida-os.

Adivinha? Fazemos exatamente a mesma etapa! Para encontrar o próximo termo do quociente, pegamos os novos primeiros termos e os dividimos, então teremos 4 x / x . Gosto de escrevê-los como uma fração; é mais fácil: 4 x / x = 4 . 4, ou 4 positivo, é o próximo termo do quociente. Lembre-se de que isso é escrito próximo ao x acima do símbolo de divisão longa. Para descobrir o que subtrairemos do dividendo, multiplicamos 4 vezes o divisor, ( x + 3). (4) ( x + 3) = 4 x + 12. 4 x + 12 é escrito sob o dividendo, combinando termos semelhantes. Em seguida, gosto de mudar os sinais e adicionar: 4 x+ 12 – 4 x – 12 = 0. Acontece que nosso resto é zero. Qual é a nossa resposta? Basta olhar acima do símbolo de divisão: x + 4. Você está pensando ‘Isso não foi tão ruim’? Vamos tentar mais um pouco. Não entre em pânico. Siga exatamente os mesmos passos, repita e nós teremos uma resposta.

Exemplo # 2

Divida (15 x ^ 2 + 26 x + 8) / (5 x + 2).

Para preencher nossa divisão longa, 15 x ^ 2 + 26 x + 8 está no dividendo, então ele vai sob o símbolo de divisão longa. 5 x + 2 é o divisor, então ele vai para fora na frente do símbolo de divisão longa. Agora estamos prontos para iniciar a divisão. Para encontrar o primeiro termo do quociente, pegamos os primeiros termos do divisor e do dividendo e os dividimos: 15 x ^ 2/5 x = 3 x . 3 x é o primeiro termo do quociente; nós o escrevemos acima do símbolo de divisão longa. Para descobrir o que subtrairemos do dividendo, multiplicamos 3 x vezes o divisor, 5 x + 2: 3 x (5 x + 2) = 15x ^ 2 + 6 x . 15 x ^ 2 + 6 x é escrito sob o dividendo, correspondendo a termos semelhantes. Gosto de mudar os sinais e adicionar diretamente: 15 x ^ 2 – 15 x ^ 2 = 0 e 26 x + (-6 x ) = 20 x . Assim como fizemos na divisão longa, vamos reduzir o próximo termo, que é 8.

Derrube o 8 e divida novamente.

E fazemos exatamente a mesma etapa! Para encontrar o próximo termo do quociente, pegamos os novos primeiros termos e os dividimos: 20 x / 5 x = 4 . 4, ou +4, é o próximo termo do quociente. Lembre-se de que isso é escrito ao lado do 3 x acima do símbolo de divisão longa. Para descobrir o que subtrairemos do dividendo, multiplicamos 4 vezes o divisor, 5 x + 2: (4) (5 x + 2) = 20 x + 8. 20 x + 8 é escrito sob o dividendo, combinando como termos. Vou mudar seus sinais e adicionar diretamente: 20 x + (-20 x) = 0; 8 + (-8) = 0. Acontece que nosso resto é zero. Para encontrar sua resposta, ou quociente, basta olhar acima do símbolo de divisão: 3 x + 4. Ok, eu sei o que você está pensando: ‘O que acontece quando eu tenho um resto? Vamos tentar um problema de divisão longa que tem um resto. Nenhuma mágica aqui! Vamos seguir as mesmas etapas, exceto que nossa resposta final será um pouco diferente.

Exemplo # 3

(4 x ^ 2 + 8 x – 5) / (2 x +1).

Para preencher nossa divisão longa, 4 x ^ 2 + 8 x – 5 é o dividendo, portanto, está sob o símbolo de divisão longa. 2 x + 1 é o divisor, então ele vai para fora na frente do símbolo de divisão longa. Agora estamos prontos para iniciar a divisão. Para encontrar o primeiro termo do quociente, pegamos os primeiros termos do divisor e do dividendo e os dividimos: 4 x ^ 2/2 x = 2 x . 2 x é o primeiro termo do quociente; nós o escrevemos acima do símbolo de divisão longa. Para descobrir o que subtrairemos do dividendo, multiplicamos 2 x vezes o divisor, 2 x +1: 2 x (2 x + 1) = 4 x^ 2 + 2 x . 4 x ^ 2 + 2 x é escrito sob o dividendo, correspondendo a termos semelhantes. Eu gosto de mudar seus sinais e adicionar diretamente para baixo: 4 x ^ 2 + (-4 x ^ 2) = 0 e 8 x + (-2 x ) = 6 x . Assim como fizemos antes, vamos reduzir o próximo período, que é -5.

Mude os sinais, adicione diretamente para baixo e diminua o -5.

Vamos fazer exatamente a mesma etapa novamente! Para encontrar o próximo termo do quociente, pegamos os novos primeiros termos e os dividimos: 6 x / 2 x = 3 . 3, ou +3, é o próximo termo do quociente. Lembre-se, isso é escrito ao lado do 2 x acima do símbolo de divisão longa. Para descobrir o que subtrairemos do dividendo, multiplicamos 3 vezes o divisor, 2 x +1. (3) (2 x + 1) = 6 x + 3. 6 x + 3 é escrito sob o dividendo, combinando termos semelhantes. Mais uma vez, gosto de mudar os sinais e adicionar direto para baixo, então 6 x + (-6 x) = 0; -5 + (-3) = -8. Acontece que nosso resto é -8. Vamos escrever o resto como uma fração: -8 / (2 x + 1). Portanto, nossa resposta final será semelhante a (2 x + 3) + -8 / (2 x + 1).

Resumo da lição

A divisão de polinômios usando divisão longa leva apenas duas etapas que são repetidas até que você termine!

1. Divida os primeiros termos.
2. Multiplique esse quociente pelo divisor e subtraia do dividendo.
3. E repita!

Lembra quanto trabalho você fez com divisão longa? Quanto papel você usou? O mesmo é verdadeiro para a divisão longa polinomial. Não pule etapas, use seu papel e não tente fazer isso em sua cabeça. As respostas de múltipla escolha parecem muito semelhantes por um motivo! Um pequeno erro e todo o problema está errado. Não há crédito parcial em um teste de múltipla escolha.

lições objetivas

Depois de concluir esta lição, você não deverá ter problemas em dividir polinômios.