Como determinar se um limite não existe

Limites

Existem três tipos diferentes de limites: limites da mão esquerda, limites da mão direita e limites dos dois lados. Para determinar se um limite específico existe ou não, você deve primeiro reconhecer que tipo de limite está procurando.

Por exemplo, dada uma função f ( x ). Escolheremos um valor c da reta de número real.

Limites da mão esquerda

O limite da esquerda é o valor que a função f ( x ) se aproxima à medida que x se aproxima do valor de c a partir da esquerda.

Observe que há um sinal de menos como um sobrescrito para o valor c na notação de limite. Isso é o que designa o limite da mão esquerda. Ao determinar o valor deste limite, estudamos os valores de x de f que são menores que c , e nos movemos em direção a c .

Este limite só existirá quando a função for definida para valores menores que c . Ou seja, o limite esquerdo não existirá no ponto final esquerdo do domínio para a função f .

Por exemplo, considere a função:

Esta função possui um domínio de (0, ∞).

Como 0 é o ponto final esquerdo do domínio para esta função, a função não existe para nenhum valor de x menor que 0. Isso significa que o limite esquerdo para essa função não existe no ponto x = 0.

Observe que quando uma função f tem um domínio que tem infinito negativo como seu único ponto final esquerdo, os limites do lado esquerdo para essa função existirão em todos os pontos de seu domínio.

Limites do lado direito

O limite do lado direito é o valor que a função f ( x ) está se aproximando conforme x se aproxima do valor de c da direita:

Observe que há um sinal de mais como um sobrescrito para o valor c na notação de limite. Isso é o que designa o limite da mão direita. Ao determinar o valor desse limite, estudamos os valores de x de f que são maiores do que ce nos movemos para baixo em direção a c .

Este limite só existirá quando a função for definida para valores maiores que c . Ou seja, o limite do lado direito não existirá no ponto final direito do domínio para a função f .

Por exemplo, considere a função:

Esta função possui um domínio de (-∞, 0 ~).

Como 0 é o ponto final correto para o domínio desta função, a função não existe para nenhum valor de x maior que 0. Isso significa que o limite à direita para esta função não existe no ponto x = 0.

Observe que quando uma função f tem um domínio que tem infinito como seu único ponto final direito, os limites à direita para essa função existirão em todos os pontos em seu domínio.

Limites de dois lados

O limite bilateral é o limite típico que você vê usado em matemática com mais frequência e é referido apenas como o limite da função em c . Esse limite depende dos limites unilaterais correspondentes para defini-lo.

O limite bilateral existe apenas se:

O limite da mão esquerda existe
O limite da direita existe
O limite da mão esquerda e o limite da mão direita têm o mesmo valor

Se a função tiver ambos os limites definidos em um determinado valor x c e esses valores corresponderem, o limite existirá e será igual ao valor dos limites unilaterais. Se os valores dos limites unilaterais não corresponderem, o limite bilateral não existirá.

Por exemplo, considere a função:

Esta função possui o domínio:

No entanto, quando testamos pontos em qualquer lado de 0, o que descobrimos é que essa função se aproxima do infinito negativo conforme nos aproximamos de 0 da esquerda, e se aproxima do infinito quando nos aproximamos de 0 da direita. Isso significa que o limite bilateral não existe.

Limites e gráficos

Ao representar graficamente uma função f , você pode facilmente dizer quando existe o limite de um determinado valor x . Aqui estão as regras:

Se o gráfico tiver uma lacuna no valor x c , o limite bilateral nesse ponto não existirá.
Se o gráfico tem uma assíntota vertical e um lado da assíntota vai para o infinito e o outro vai para o infinito negativo, então o limite não existe.
Se o gráfico tiver um furo no valor x c , então o limite bilateral existe e será a coordenada y do furo.

Considere este gráfico da função f :

Nesta imagem, primeiro olhamos para o ponto em que x = 0. Vemos que há uma lacuna nesse ponto e, portanto, sabemos que o limite bilateral não existe. Cada limite unilateral existe, mas cada um deles tem valores diferentes.

Agora vamos olhar para o ponto em que x = 1. Há uma lacuna no gráfico aqui, mas o limite existe. Na verdade, o limite é o valor da coordenada y para o furo. Nesse caso, o valor seria y = 1 e, portanto, o limite quando x vai para 1 é 1. Em notação matemática, é assim:

Resumo da lição

Para recapitular, vamos reafirmar as lições mais importantes desta lição:

O limite esquerdo não existirá no ponto final esquerdo do domínio da função f
O limite do lado direito não existirá, o ponto final certo do domínio da função f
O limite bilateral não existirá quando um dos limites unilaterais não existir ou quando seus valores não forem iguais.