Máximo e mínimo de uma montanha-russa
Eu realmente gosto de montanhas-russas. Eu realmente gosto disso, em particular, quando você chega bem no topo da montanha-russa pouco antes de cair no fundo. Também gosto daquele ponto no fundo, onde você é repentinamente puxado para cima e suas vísceras vão até os pés.
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Vamos ver se podemos analisar uma montanha-russa. Vamos considerar sua posição na Terra como x e sua altura como y . Portanto, vamos desenhar a altura da montanha russa em função de sua localização, x . Gosto muito, em particular, do ponto no topo e do ponto na parte inferior desta função de montanha-russa. Então, quais são esses pontos? Isso é o que chamamos de extremos . Extrema são valores extremos , como um valor máximo ou mínimo. Em uma montanha-russa, nesta montanha-russa em particular, há uma altura máxima, então é um valor máximo de y , e há uma altura mínima, um mínimo de yvalor. Mas e esses outros dois pontos, perto do início e perto do fim? Se eu ignorar o resto do gráfico, esse é um valor mínimo. Se eu ignorar o resto deste gráfico, esse é um valor máximo. Então, quais são? Extrema pode ser ambos. Extrema pode ser global ou o que chamamos de extremo absoluto. Este é um valor máximo ou mínimo para todo o domínio. Esse é o topo da montanha-russa e a base da montanha-russa. Mas você também pode ter extremos locais. Também os chamamos de extremos relativos, e esses são os valores máximos ou mínimos em uma pequena região. Voltando à minha montanha-russa, tenho o máximo global e o mínimo global, bem como os lugares máximos e mínimos locais. Você pode pensar nisso como cadeias de montanhas evales . O máximo global na Terra é o Monte. Everest. Portanto, também tenho um máximo local. É aquela pequena colina no quintal onde jogo todo o meu lixo.
Exemplo 1
Vamos dar uma olhada neste exemplo. Neste exemplo, temos, obviamente, um mínimo global. Está na parte inferior deste gráfico. Também temos dois valores máximos. Temos este máximo local do lado direito e este máximo global do lado esquerdo. Agora, lembre-se de que cada ponto global máximo ou mínimo também será um ponto máximo ou mínimo local. A pilha de lixo no meu quintal é um máximo local, mas MT. Everest também é um máximo local. É apenas local para aquela região.
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Exemplo # 2
Vamos fazer um exemplo real, como y = sin ( x ) entre 0 e 3 pi . Se eu extrair isso, quantos valores máximo e mínimo eu tenho? Definitivamente, tenho um valor mínimo global, aqui em -1. Que tal um máximo global? Neste caso, tenho dois máximos globais. Existem dois pontos que são iguais a 1. Tudo bem porque não posso escolher um em vez do outro. Ambos têm o mesmo valor, então tenho dois valores máximos globais. Também tenho valores mínimos locais no início e no final da minha faixa, então não posso esquecê-los.
Entendendo Valores Extremos
Vamos tornar isso um pouco mais formal. Um máximo global está em algum valor x , como x max onde y , ou f , nesse ponto é maior do que qualquer outro valor em sua região. Então, isso é como dizer a altura no topo do Monte. O Everest é maior do que a altura de qualquer outro ponto da Terra. O mínimo global está no valor x ( mínimo de x , digamos), em que o valor nesse ponto é menor do que qualquer outro ponto em seu domínio. Por exemplo, o Mar Morto é mais baixo do que qualquer outro ponto da Terra, pelo menos acima do solo. Um máximo local é apenas o maior ponto local, ou o ponto mais alto local. É onde f (x) é maior do que f (x)para qualquer ponto ao seu redor. Esta é a pilha de lixo local. O topo dessa pilha de lixo é mais alto do que qualquer outro ponto ao redor dessa pilha de lixo. O mínimo local é da mesma forma. É o valor mínimo em alguma área próxima.
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Exemplo # 3
Vamos fazer outro exemplo. Digamos que temos uma função e se parece um pouco com isso. Quantos valores máximos e mínimos existem neste gráfico? Bem, há um valor máximo global, aqui, e há um valor mínimo global, aqui. Então, temos um máximo local aqui, aqui, aqui e aqui. Portanto, temos um valor máximo global e cinco valores máximos locais, porque temos esses quatro valores máximos que são apenas valores máximos locais, mas também temos o máximo global, portanto, temos cinco. Da mesma forma, temos um mínimo global, mas temos seis mínimos locais. Agora, você pode ter acabado de dizer que temos quatro, mas lembre-se de incluir as pontas.
Exemplo # 4
Vamos fazer outro exemplo. Digamos f (x) = x para -1 < x <1. Portanto, isso está entre -1 e 1, mas não estou incluindo os pontos em 1 ou -1. Posso fazer um gráfico e tenho dois orifícios abertos em ambas as extremidades. Quantos valores máximos e mínimos existem? Bem, é uma pergunta meio capciosa. Não existem valores máximos ou mínimos. Isso porque não posso escolher um ponto aqui que não tenha pontos maiores do que ele. Você gostaria de dizer x = 1. Isso não é em nossa região. Você pode dizer apenas menos do que x = 1, mas não podemos realmente definir isso, então não há ponto onde haja um valor máximo global ou mesmo local. A mesma coisa acontece em -1. Portanto, neste caso, não há valores extremos.
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Resumo da lição
Vamos revisar. Os valores extremos são seus pontos mais altos e mais baixos. Você pode ter valores máximos, como montanhas altas, e valores mínimos, como o vale local. Você também pode ter um máximo ou mínimo local e um máximo ou mínimo global. Um exemplo de um máximo local seria a pilha de lixo atrás da minha casa. Sua altura é maior do que qualquer coisa ao seu redor, mas não se você começar a incluir toda a Terra. O máximo global seria MT. Everest. Não há nada na terra que seja mais alto do que o Monte. Everest. Em segundo lugar, sempre que você estiver tentando encontrar valores extremos em algum domínio, certifique-se de considerar as bordas de seu domínio. Por último, as descontinuidades não são valores máximos ou mínimos. Então nós tínhamos aquele gráfico onde tínhamos buracos nas duas extremidades. Esses não contam como valores máximos ou mínimos.