Escrevendo Equações de Duas Variáveis
Você já tentou resolver um problema em que havia dois valores desconhecidos? Por exemplo, digamos que você tenha $ 5 e planeja economizar $ 5 por semana. Seu amigo tem $ 11, mas está planejando economizar $ 2 por semana. Depois de quantas semanas você e seu amigo terão a mesma quantia de dinheiro? Quanto dinheiro vocês dois terão? Podemos usar um sistema de equações para resolver esse problema.
Um sistema de equações são duas ou mais equações com duas variáveis que podem ser resolvidas por meio de gráficos no plano de coordenadas. Para representar graficamente um sistema de equações, ambas as equações podem ser alteradas para a forma de declive-interceptação de uma linha.
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A interceptação y é onde você começa no eixo y e a inclinação é o quanto você se move. Ao representar graficamente a inclinação, nós a transformamos em uma fração e então subimos ou descemos (subimos) e então vamos para a direita (correr).
Exemplo 1
Para responder à pergunta de quando você e seu amigo terão a mesma quantia de dinheiro e quanto dinheiro você terá, devemos primeiro definir nossas variáveis. Desde que eu sei que vamos representar graficamente estes no plano de coordenadas, vou usar x e y , mas qualquer carta seria suficiente.
Para escolher qual variável é ox e qual é y , precisamos determinar qual depende da outra. No problema, procuro a quantidade de dinheiro e o número de semanas. O número de semanas depende de quanto dinheiro você tem ou a quantidade de dinheiro que você tem depende do número de semanas?
Uma vez que a quantidade de dinheiro que você tem depende do número de semanas, a quantidade de dinheiro é a variável dependente, ye o número de semanas é a variável independente, x .
Agora que definimos nossas variáveis, vamos criar duas equações. Uma equação representará seu dinheiro e a segunda equação representará o dinheiro de seu amigo. A quantia total de dinheiro que você tem, y é igual a quanto você tem atualmente, $ 5, mais quanto você está economizando a cada semana, $ 5 por semana. Isso se traduz em y = 5 x +5.
A quantia total de dinheiro que seu amigo tem, y , é igual a quanto ele tem atualmente, $ 11, mais o quanto ele está economizando por semana, $ 2 por semana. Isso se traduz em y = 2 x +11.
Para resolver este sistema de equações, vamos representar graficamente as duas equações no mesmo plano de coordenadas. Quando representamos graficamente as equações lineares, precisamos de um ponto de partida e da inclinação. O ponto de partida é a quantidade de dinheiro que você tem, $ 5, que também é a interceptação y na equação. A inclinação é a quantidade de dinheiro que você está economizando, US $ 5 por semana. Se fizermos da inclinação uma fração, é 5/1 , o que significa que vamos para cima 5 e para a direita 1 a partir do ponto inicial no eixo y.
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A seguir, representamos graficamente a segunda equação. O valor inicial aqui é $ 11 e a inclinação é $ 2 por semana. Começamos em 11 no eixo y e depois aumentamos 2 e mais 1.
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Para encontrar a solução para este sistema de equações, encontramos o ponto onde as duas linhas se cruzam. Eles se cruzam no ponto (2, 15). Isso significa que x = 2 ey = 15. Portanto, após 2 semanas, você e seu amigo terão $ 15.
Exemplo 2
Susan e Carlos foram a um carnaval, onde tiveram que pagar a entrada e cada passagem. Susan pagou quatro passagens e ingressos, e custou US $ 9. Carlos pagou a entrada e duas passagens, e custou US $ 7. Quanto custou a admissão? Quanto custou cada passagem de viagem?
Como estamos tentando encontrar o custo de admissão e o custo de uma passagem de viagem, precisamos definir nossas variáveis. Não importa, neste caso, qual usamos como x e y , porque esses dois eventos são independentes uns dos outros. Vamos deixar o custo de admissão ser nosso y e o custo de cada passagem de viagem ser x .
Agora, definiremos duas equações, uma para Susan e outra para Carlos. Susan comprou 4 ingressos, então temos que multiplicar o custo de um ingresso, x vezes 4. Ela também pagou pela admissão, y , então devemos adicionar isso ao 4 ( x ) e isso é igual aos $ 9 que ela gastou. Portanto, a equação para Susan é y + 4 x = 9.
Carlos pagou por 2 passagens, então devemos multiplicar o custo de uma passagem, x por 2. Então ele também pagou pela entrada, então devemos adicionar y ao 2 (x) e isso é igual aos $ 7 que ele gastou. A equação para Carlos é y + 2 x = 7.
Para representar graficamente essas equações no plano de coordenadas, devemos resolvê-las para y .
Para a equação de Susan, devemos subtrair 4 x .
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Agora podemos olhar a equação e encontrar a inclinação e a interceptação y. A inclinação é -4/1 e a interceptação y é 9. Então, começamos em 9 no eixo y e depois descemos 4 porque é negativo e 1 à direita.
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Para a equação de Carlos, devemos subtrair 2x de ambos os lados para resolver para y .
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Agora que temos a equação na forma de inclinação-interceptação, podemos ver que a inclinação é -2/1 e a interceptação y é 7. Neste caso, começaremos em 7 no eixo y e, em seguida, desceremos 2 e à direita 1.
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A solução é o ponto onde esses dois gráficos se cruzam, (1, 5). Isso significa que o custo de cada passagem é de $ 1 e o custo de admissão é de $ 5.
Resumo da lição
Existem seis etapas para escrever um sistema de equações a partir de um problema de palavras.
- Defina suas variáveis. Certifique-se de determinar o que você está procurando e decida qual variável representará qual desconhecido.
- Escreva duas equações com duas variáveis.
- Coloque suas equações na forma de declive-interceptação , y = mx + b
- Represente graficamente as equações usando a inclinação e a interceptação y.
- Identifique a solução observando o ponto onde as linhas se cruzam.
- Escreva o que esse ponto significa em termos do problema.