Brocard Circle
É hora de férias! Suponha que um hotel resort sofisticado, o Mathematica, tenha uma área de piscina circular, com uma piscina triangular. Há um bar circular de comidas e bebidas, chamado Brocard Bar, dentro da piscina triangular, conforme mostrado na imagem.
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Hmmm… o Brocard Bar é um nome interessante para um bar! Você pode estar se perguntando de onde veio!
Acontece que a barra circular é, na verdade, uma característica matemática importante do triângulo que é a piscina neste cenário, chamada de Círculo de Brocard. Para definir o círculo de Brocard de um triângulo, precisamos estar familiarizados com algumas outras definições. Esses são os seguintes:
- Circuncírculo de um triângulo: o círculo que passa por cada um dos vértices do triângulo.
- Circuncentro de um triângulo: O ponto central da circunferência do triângulo.
- Mediana de um triângulo: uma linha de um vértice até o centro do lado oposto a esse vértice.
- Bissetriz de ângulo de um triângulo: Um segmento de linha que divide o ângulo de um vértice pela metade.
- Simedianos de um triângulo: os segmentos de reta formados pelo desenho de uma mediana de um triângulo e refletindo-o sobre a bissetriz do ângulo correspondente desse vértice.
- Ponto simediano de um triângulo: O ponto de intersecção dos três simedianos de um triângulo.
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Ufa! São muitas definições, mas agora temos o que precisamos para definir o círculo de Brocard de um triângulo.
- Brocard Círculo de um triângulo: O círculo que tem um diâmetro que é o segmento de linha que conecta o circuncentro do triângulo e a ponta simediana do triângulo.
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Ah-ha! Agora o nome do bar faz todo o sentido! O bar é o Círculo de Brocard da piscina triangular!
Como construir um círculo de Brocard
Quando a barra de Brocard estava sendo criada, os arquitetos e engenheiros que criaram as plantas do projeto deveriam ser capazes de construir o círculo de Brocard da piscina triangular. Acontece que, se alguém estiver familiarizado com algumas construções simples de bússola e bordas retas e puder encontrar o circuncentro e o ponto simmediano de um triângulo, esse processo não será muito difícil. As etapas são as seguintes:
- Encontre o circuncentro do triângulo.
- Desenhe os simedianos do triângulo e encontre o ponto simmediano do triângulo.
- Use uma régua para conectar o circuncentro e o ponto simmediano do triângulo com um segmento de reta. Este é o diâmetro do seu círculo, chamado Diâmetro de Brocard .
- Encontre o ponto médio do segmento de linha que você acabou de criar.
- Use uma bússola para criar um círculo que tem o ponto médio que você acabou de encontrar como seu centro e o ponto simbólico e o circuncentro como pontos no círculo.
Exemplo
Ok, vamos construir o círculo de Brocard do triângulo RST mostrado.
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O passo 1 é encontrar o circuncentro do triângulo, então desenhamos o circuncentro e encontramos seu centro.
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A etapa 2 é desenhar os simedianos do triângulo e encontrar seu ponto de interseção, ou o ponto simediano.
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Para a Etapa 3, simplesmente conectamos os dois pontos que encontramos na etapa um usando uma régua, criando o Diâmetro de Brocard.
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Na Etapa 4, encontramos o ponto médio do segmento de linha que acabamos de desenhar.
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Por último, a Etapa 5 é realmente desenhar o círculo de Brocard usando uma bússola definida no ponto médio do segmento de linha que conecta o circuncentro ou o ponto simbólico.
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Ta-da! Temos nosso círculo de Brocard do triângulo. Isso não é muito difícil!
Resumo da lição
O Círculo de Brocard de um triângulo é um círculo que tem um diâmetro que é o segmento de linha que conecta o circuncentro do triângulo, ou o centro do círculo circunflexo do triângulo e o ponto simediano do triângulo, ou o ponto de intersecção dos três simedianos do triângulo . Construir o círculo de Brocard de um triângulo é uma questão de identificar o ponto médio do segmento de linha que conecta o circuncentro e o ponto simediano do triângulo e, em seguida, usar uma bússola para construir o círculo.
Os Círculos de Brocard são características fascinantes de triângulos que possuem algumas propriedades. Eles aparecem no mundo ao nosso redor em várias áreas, como arquitetura, engenharia, física e astronomia. Como vimos, eles podem até aparecer durante o planejamento de férias, então vamos nos certificar de manter esse conhecimento recém-descoberto guardado em nossa caixa de ferramentas matemáticas para o caso de precisarmos dele no futuro!