Composição de Função
É muito fácil para os matemáticos fazer as coisas parecerem muito mais difíceis do que realmente são. Muitas vezes, isso se resume a um vocabulário confuso ou notação confusa. Embora essas palavras ou símbolos sempre tenham um propósito e acabem tornando a vida mais fácil, quando você os aprende pela primeira vez, pode ser difícil manter tudo certo.
O tópico desta lição, composição de funções , é um desses tópicos. Pode parecer complicado no início, então vamos começar devagar e facilitar o processo.
Notação de Função
Começaremos revisando o que é notação de função.
Basicamente, é apenas outra maneira de escrever uma equação. Em vez de dizer y = 4 x – 1, podemos dizer f ( x ) = 4 x – 1. Essa notação agora dá a essa função um nome, f , e nos permite substituir qualquer coisa que quisermos nela.
Em vez de f ( x ), e se fosse f ( w )? Isso significa que f ( w ) é apenas 4 w – 1.
Não precisamos apenas usar símbolos também. Que tal f (6)? Agora, apenas colocamos um 6 nesse local: 4 (6) – 1 = 23.
Podemos até usar formas aleatórias se quisermos! Que tal f ( 🙂 )? Acabei de conectar aquele rosto sorridente, o que significa f ( 🙂 ) = 4 🙂 – 1.
Vamos aumentar a dificuldade um pouco. Em vez de substituir em um único termo, e se tentássemos uma expressão com vários termos? Talvez f (-2 m +3)? Só porque é uma expressão maior, não significa que fazemos algo diferente. Onde costumava haver um x (ou um smiley, ou um 6, ou um w ), agora coloco -2 m + 3. Isso nos dá o seguinte: 4 (-2 m + 3) – 1, que podemos então simplifique com a propriedade distributiva e combinando termos semelhantes para terminar com nossa resposta: -8 m + 11.
Composição de Funções
Então, como você pode ver, podemos substituir qualquer coisa antiga em uma função. Então, por que não outra função? Isso é exatamente o que é uma composição de funções – pegamos uma função e a conectamos em outra. Se definirmos outra função, digamos que g ( x ) seja 3 x 2 , podemos então avaliar f ( g ( x )) fazendo exatamente o que temos feito nos últimos minutos e apenas inserir uma função em outra!
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Começamos com a função externa, f : 4 vezes alguma coisa – 1, mas em todos os lugares em que normalmente colocaríamos um x , agora substituímos na função g ( x ). Então, em vez de 4 x – 1, ou 4 w – 1, ou 4 🙂 – 1, temos 4 ( g ( x )) – 1. Mas, como sabemos que g ( x ) é apenas 3 x 2 , podemos substitua isso também, o que torna f ( g ( x )) igual a 4 (3 x 2 ) – 1. Simplificando novamente nos dá nossa resposta final como 12 x2 – 1.
E é isso! Mas as funções que compõem pode ser difícil porque vendo todas aquelas letras – f e g e x – pode ser assustador. Mesmo quando você consegue essa parte, pode ser fácil fazer o problema ao contrário e substituir as funções umas nas outras da maneira errada. Então, vamos dar uma olhada em um ou dois exemplos e ver se podemos resolver esses dois erros comuns e evitar que aconteçam com você.
Exemplo 1
Vamos configurar algumas funções novas – talvez r ( x ) = – x + 1 e s ( x ) = 2 x + 5 – e percorrer as diferentes maneiras de compô-las.
Que tal r ( s ( x ))? Bem, r é a função externa, então começamos com isso: algo negativo mais 1. Mas em vez de um x , estamos substituindo em s ( x ). Isso transforma o que temos, – x + 1, em – (2 x + 5) + 1. Novamente, distribuindo e simplificando nos dá r ( s ( x )) = -2 x – 4.
E da outra maneira: s ( r ( x ))? Desta vez, a função externa é s , o que significa que começaremos com 2 x + 5, mas então substituiremos a função r onde o x costumava ser. Isso nos dá 2 (- x + 1) + 5, e nossa resposta simplificada é -2 x + 7.
Observe que obtemos respostas diferentes quando compomos as funções em direções diferentes. Isso significa que você deve ter cuidado para não fazer da maneira errada. Limito meus erros sempre começando por escrever a função externa, e só então penso na função interna.
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Exemplo # 2
Existem algumas outras maneiras de tornar esses problemas um pouco mais complexos. Uma delas é compor uma função consigo mesmo. Talvez r ( r ( x )): r é a função externa, então começamos com – x + 1, mas então r é a função interna também, então onde vimos ox , colocamos outro – x + 1. Isso nos dá isso: – (- x + 1) + 1, que simplifica para apenas x .
Também podemos avaliar uma composição de funções em um valor específico – talvez como s ( s (3)). Começamos com a função s , 2 x + 5, substituímos por outra função s , 2 (2 x + 5) + 5, e então substituímos por 3 (onde costumava ser x ), dando-nos 2 (2 ( 3) + 5) + 5. Agora, em vez de apenas simplificar, multiplicamos e somamos. 2 vezes 3 é 6 mais 5 é 11 vezes 2 é 22 mais 5 é 27. Então, s ( s (3)) é apenas 27!
Resumo da lição
Felizmente, isso ajudou a remover parte da natureza confusa das composições de funções e a mostrar que é simplesmente outra maneira de conectar as coisas às equações. Vamos revisar rapidamente os destaques.
Podemos substituir qualquer coisa que quisermos em uma função – variáveis, formas, números e até mesmo outras funções!
Isso é o que significa compor funções – conectar uma função em outra.
Ao fazer isso, comece com a função externa e trabalhe seu caminho interno, transformando x em qualquer nova função que você for solicitado a substituir.
Ao avaliar uma composição de funções em um valor numérico específico, faça o mesmo processo, mas depois insira esse número onde o x costumava estar.