Quantas visualizações obteremos?
Em uma lição anterior sobre sequências geométricas , vimos que se um vídeo do YouTube obtiver dois hits no primeiro dia, mas depois três vezes mais novos hits a cada dia consecutivo, ele obterá rapidamente mais de 3.000.000 de novos hits 14 depois de postado. Mas isso só nos ajudou a descobrir quantos novos acessos ele recebeu em cada dia específico. Se quisermos saber, por exemplo, quantas visualizações totais ele obteve nas primeiras duas semanas, teríamos que adicionar todas essas entradas.
É quando a sequência geométrica se transforma em uma série geométrica . Claro, poderíamos tentar somar esses números manualmente. Mas, como provavelmente já é óbvio, os matemáticos adoram atalhos. O que estamos tentando fazer é adicionar uma sequência geométrica.
Provando a Fórmula
Uma sequência geométrica começa com algum número. Vamos chamá-lo um _1. Então, nós queremos adicionar o próximo mandato, o que seria um * _1 r , porque nós apenas manter a multiplicação. A próxima seria um _1 * r ^ 2, em seguida, um _1 * r ^ 3, e que ir e até o n ésimo termo, que é um _1 * r ^ ( n – 1). Por ser uma série, queremos adicionar todas essas coisas, então estamos adicionando todas.
Digamos que isso seja igual a s , nossa soma. Isso é o que temos. Isso é o que queremos saber. O que está s igual a? Bem, se s é igual ao que acabamos de escrever aqui, eu poderia multiplicar os dois lados da equação por r . Isso significaria r * s . Agora só preciso distribuir um r para tudo que está lá. um _1 se transforma em um _1 * r , a uma _1 * r transforma em um _1 * r ^ 2, a uma _1 * r ^ 2 se transforma em um _1 *r ^ 3 e assim por diante. O a _1 * r ^ ( n – 1) se transformaria em um _1 * r ^ n . Esse seria meu último mandato.
A razão pela qual fiz isso é porque agora podemos usar um truque. Eu levo os dois lados do lado esquerdo da equação, s e r * s , e eu subtrair aqueles, por isso é – ( r * s ). Eu então pego os lados direitos da equação e subtraio: a _1 + ( a _1 * r ) + ( a _1 * r ^ 2) e todas essas coisas menos ( a _1 * r ) + ( a _1 * r ^ 2) + ( a _1 * r ^ 3) e todas essas coisas.
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Muitas dessas coisas serão canceladas. O a _1 na frente do primeiro permanecerá. Mas então um _1 * r e um _1 * r cancelam, um _1 * r ^ 2 e um _1 * r ^ 2 cancelam, todas essas coisas cancelam. O a _1 * r ^ ( n – 1) cancela. Mas então eu tenho, no outro, o a _1 * r ^ n , que não é cancelado, então eu tenho um negativo a _1 * r ^ n .
Muitas dessas coisas vão embora e tudo o que resta é s – rs = a _1 – ( a _1) ( r ^ n ). Agora, como os dois lados dessa equação compartilham um fator, posso fatorar um s do lado esquerdo para obter s (1 – r ). Posso fatorar um a _1 do lado direito para obter ( a _1) (1 – r ^ n ).
Depois, à esquerda, porque vou tentar obter s sozinho, posso desfazer os tempos (1 – r ) com dividir por (1 – r ). O que eu entendo é que s é igual a ( a _1) ((1 – r ^ n ) / (1 – r )) .
Foi uma matemática muito elaborada, mas o que descobrimos é a soma de qualquer série geométrica finita. Então, se nós estamos tomando a soma, desde o primeiro mandato ao n º prazo, da seqüência geométrica ( um _1) ( r ^ ( n – 1)), que é simplesmente igual a ( uma _1) ((1 – r ^ n ) / (1 – r )). O que temos agora é nossa fórmula. Agora, armados com nossa fórmula, podemos responder à pergunta de quantas visualizações totais nosso vídeo teve nas primeiras duas semanas.
Resolvendo a Fórmula
Decidimos que a regra para o n- ésimo termo era 2 * 3 ^ ( n – 1), porque 2 era o primeiro termo e a razão comum era 3; continuamos multiplicando por 3 a cada vez. Isso significa que, se quisermos saber quantas visualizações totais obtivemos nas primeiras duas semanas, estamos calculando a soma dessa regra exata do dia 1 ao dia 14.
Agora posso apenas inserir números na fórmula. a _1 é 2. Nesse caso, n é 14 porque estamos passando por 14 dias. r é 3.
Eu obtenho 2 ((1 – 3 ^ 14) / (1 – 3)). Isso simplifica em 2 ((1 – 4.782.969) / (1 – 3)). Continuando e subtraindo, obtenho 2 (-4.782.969 / -2). Fazendo a divisão, negativo dividido por negativo é positivo. Então, fazendo a multiplicação, parece que nosso vídeo teve 4.782.968 visualizações apenas nas primeiras duas semanas.
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Encontrando a Fórmula para uma Série Infinita
A fórmula que criamos funciona para todas as séries geométricas finitas. Mas, ao que parece, também vai funcionar para algumas séries geométricas infinitas. Se r , a razão comum, é maior do que 1, então a série fica cada vez maior e maior, e nunca vai parar. Encontrar uma quantia específica será impossível porque ela se tornará infinita.
Se, em vez disso, r estiver entre 0 e 1, a soma irá convergir para um número específico. Isso ocorre porque os números que adicionaremos ficam tão pequenos que basicamente se transformam em 0 e não fazem nada.
Então, nossa soma, de 1 ao infinito, de nossa série geométrica não tem a mesma equação, ( a _1) ((1 – r ^ n ) / (1 – r )). Agora, isso r ^ n na fórmula antiga pode ser (1/2) ^ 100, porque nós estamos indo para o infinito, de modo que o n vai ficar enorme. E (1/2) ^ 100 é como 0,00000 … Eu nem sei; há uma tonelada de zeros lá.
Isso significa que, se continuarmos, (1/2) ^ 200, (1/2) ^ 300, ele fica cada vez menor. Então, 1/2 elevado ao infinito vai se transformar em 0, o que significa que este r ^ n desaparece de nossa fórmula e nossa fórmula se transforma em ( a _1) ((1 – 0) / (1 – r )). I pode então multiplicar a um _1 para as 1 e a fórmula simplifica-se a ( um _1) / (1 – R ) .
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Resolvendo uma série geométrica infinita
Um dos exemplos clássicos de uma sequência geométrica infinita que na verdade tem uma soma finita tem a ver com uma bola sendo lançada para o ar e depois quica repetidamente até que basicamente para de quicar e cai no chão. A questão é: quão longe a bola viajou?
Digamos que, neste exemplo, ele foi lançado no ar e desceu e viajou 2 pés em sua primeira viagem. Então, quando ele quicou e atingiu o solo, ele percorreu 1/4 da distância. Portanto, se subiu e desceu 60 centímetros na primeira vez, na segunda vez só subiu e desceu meio pé. Então, ele só iria subir e descer 0,125 pés e então iria continuamente pular em quantidades cada vez menores. Isso iria, teoricamente, para sempre, até o infinito.
A regra para essa sequência seria a _ n = 2 * (0,25) ^ ( n – 1). 2 é o valor inicial e a proporção comum é 1/4.
Queremos fazer a soma, do primeiro ao termo infinito dessa regra, e agora posso apenas usar minha fórmula: ( a _1) / (1 – r ). a _1 é 2 e r é 1/4. Minha fórmula se transforma em 2 / (1 – 1/4). 1 – 1/4 é 3/4. Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar por seu recíproco. Recebo 2 * 4/3. Colocar 1 abaixo de 2 e multiplicar dá-me 8/3, ou cerca de 2,6667 pés.
Resumo da lição
Para avaliação, série geométrica finitos pode ser avaliada com a fórmula ( um _1) ((1 – r ^ n ) / (1 – R )) em que R é a razão comum e n é o número de termos da série. Séries geométricas infinitas podem ser avaliadas usando uma versão simplificada desta fórmula, ( a _1) / (1 – r ), mas somente se r estiver entre 0 e 1.