Revisão das funções básicas do Trig
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Eu absolutamente amo funções trigonométricas, como senos e cossenos. Eu os amo porque eles se repetem, são muito previsíveis e, francamente, são lindos gráficos. Mas um dos meus maiores problemas com funções trigonométricas é que é muito difícil resolver o inverso.
Digamos que eu tenha a função y = cos ( x ) e quero saber, entre zero e pi , que valor de x vai me dar um y de 1/2. Então, eu quero saber qual é o valor de x aqui. Bem, para fazer isso, preciso usar a função trigonométrica inversa. Então, neste caso, eu tenho x = cos ( y ) e este gráfico é o inverso do anterior. Posso escrever como y = cos ^ -1 ( x ). Agora cos ^ -1 não é 1 / cosseno, mas é o arco cosseno . É uma função totalmente diferente. Isso é ótimo. Agora eu apenas olho para x = 0,5, e posso encontrar o valor de y está lá e resolva esse problema.
Ok, resolvi esse problema, mas que tal tirar a derivada dessa função? Eu sei que se eu tiver apenas cos ( x ), posso encontrar a derivada muito facilmente. A derivada de cos ( x ) é apenas -sin ( x ), então essa é a inclinação da tangente aqui. Mas e quanto à inclinação da tangente do arco-cosseno de x ? Portanto, se y = cos ^ -1 ( x ), o que é y ‘?
Regras de funções de gatilho inverso
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Bem, aqui estão mais três fórmulas derivadas para você se lembrar. Para y = cos ^ -1 ( x ), y` = -1 / a raiz quadrada de (1 – x ^ 2), desde que o valor absoluto de x seja menor que 1. Se y = sin ^ -1 ( x ), y` = 1 / a raiz quadrada de (1 – x ^ 2), novamente, desde que | x | <1. Para y = tan ^ -1 ( x ), y` = 1 / (1 + x ^ 2).
Exemplo 1
Vamos dar um exemplo. Digamos que f (x) = cos ^ -1 (4 x ). Portanto, f` ( x ) é a derivada, d / dx , de cos ^ -1 (4 x ). Agora, este exemplo é um pouco mais complicado do que parece a princípio. Vou chamar 4 x u por um segundo, porque sei que tenho parênteses aqui e vou ter que usar a regra da cadeia. Vou escrever isso como d / dx de cos ^ -1 ( u ). Usando a regra da cadeia, primeiro vou encontrar a derivada de cos ^ -1 ( u ). Isso é -1 / a raiz quadrada de (1 – u^ 2) porque essa é a regra que acabamos de aprender. Vou multiplicar tudo isso pela derivada do que está dentro dos parênteses usando a regra da cadeia; isso é du / dx . Ok, então eu me livrei dos meus parênteses. Vamos conectar 4 x de volta para u , então obtemos -1 / a raiz quadrada de (1 – 4 x ^ 2), todas as vezes d / dx de 4 x . Bem, d / dx de 4 x é apenas 4, e posso simplificar tudo isso multiplicando esse 4 x ^ 2 e movendo o 4 para cima dessa fração. Eu obtenho f` (x) = -4 / a raiz quadrada de (1 – 16 x^ 2). Hmm. Não é exatamente o que eu esperava, mas é tudo porque usei a regra da corrente aqui.
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Exemplo # 2
Vamos fazer outro exemplo. Digamos que f (x) = sin ^ -1 ( x ^ 2). Bem, eu vejo esses parênteses, então, novamente, já estou pensando em regra da cadeia. f` (x) = d / dx (sin ^ -1 ( x ^ 2)). Mas vou usar u em vez de x ^ 2, só para ficar claro aqui. Portanto, a derivada em relação ax de sin ^ -1 ( u ) é 1 / a raiz quadrada de (1 – u ^ 2) du / dx – essa é a regra da cadeia. Eu tenho a derivada do exterior vezes a derivada do interior. Agora vou conectar x ^ 2 para u ; Eu obtenho 1 / a raiz quadrada de (1 – x^ 2), que é u , todo ao quadrado, vezes d / dx de x ^ 2. Isso não é tão ruim. Vamos encontrar esse d / dx de x ^ 2. Lembro que isso é apenas 2 x , então tenho 1 / a raiz quadrada de (1 – ( x ^ 2)) ^ 2 * 2 x . Bem, posso simplificar tudo isso e descobrir que f` (x) = 2 x / a raiz quadrada de (1- x ^ 4).
Exemplo # 3
Vamos fazer outro exemplo. Digamos que desta vez eu tenha f (x) = (tan ^ -1 ( x )) ^ 2. Ok, muitos parênteses aqui – mais regra da cadeia. Portanto, f` (x) = d / dx (tan ^ -1 ( x )) ^ 2. Vou chamar tan ^ -1 ( x ) u por um segundo. Vou escrever isso como d / dx de u ^ 2. Isso parece muito mais simples. Isso é apenas 2 u * du / dx . Ok, fantástico. Agora, basta conectar tan ^ -1 para você . Portanto, tenho 2tan ^ -1 ( x ) * d / dx * (tan ^ -1 ( x )). Bem, deixe-me usar a regra que acabei de aprender para este d / dxde tan ^ -1. Portanto, acho que meu f` (x) = 2tan ^ -1 ( x ) (1 / ( x ^ 2 + 1)). Isso simplifica para f` (x) = (2tan ^ -1 ( x )) / ( x ^ 2 + 1).
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Resumo da lição
Então, vamos revisar. Se y = sin ^ -1 ( x ), é como escrever x = sin ( y ). Podemos encontrar a derivada deste y = sin ^ -1 ( x ) apenas usando esta fórmula: y` (a derivada) = 1 / a raiz quadrada de (1 – x ^ 2). Da mesma forma para cos ^ -1 ( x ), a derivada é -1 / a raiz quadrada de (1 – x ^ 2). Para tan ^ -1 ( x ), é 1 / ( x ^ 2 + 1).