Calculando com Surds
Johan quer sair com seus amigos, mas ele tem que terminar sua lição de casa sobre surds primeiro. Ele simplesmente não entende – como os números podem ser irracionais? E como ele pode resolver um problema de matemática com raízes quadradas? Bem, não é tão difícil quanto parece, Johan. Vamos dar uma olhada nas palavras explorando primeiro o significado da palavra «racional».
Números irracionais e surds
Em matemática, a palavra racional tem um significado especial. As primeiras cinco letras: proporção formam a palavra » proporção. » Os números racionais são definidos com uma proporção.
Uma proporção é uma coisa dividida por outra coisa. Nesta lição, essa coisa é um número inteiro. Estamos prontos para uma definição: se um número é a proporção de dois inteiros, o número é um número racional . Por exemplo, 4 é um número racional porque 4 é 4/1. Que tal 4,2? Sim, 4,2 é um número racional porque 4,2 é 42/10. Que tal um número como 0,666…? Bem, 0,666 … é um número racional porque 0,666 … é 2/3.
Se um número não é um número racional, é um número irracional . Aqui estão alguns números irracionais:
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Não há como escrever esses números como a proporção de dois inteiros. Esses números têm uma parte decimal não repetida. Observe que geralmente usamos 22/7 como uma aproximação de π, mas o próprio π não tem um padrão de repetição. Não pode ser escrito como uma proporção de dois inteiros, por isso é um número irracional.
O que é √9? É 3, já que 9 é um quadrado perfeito . Quando a raiz de um inteiro resulta em um inteiro, temos um quadrado perfeito. Além disso, 3 é 3/1, o que significa que 3 é um número racional. Portanto, √9 é um número racional. Algumas raízes quadradas, entretanto, são irracionais. O √2 é um decimal não repetido . Não tem padrão de repetição. √2 é um número irracional. É hora dessa palavra «surd», diz Johan.
Raízes irracionais de inteiros são chamadas de surds . Alguns exemplos de surds:
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Podemos somar e subtrair excedentes juntos quando são iguais. Assim como x + 4 x = 5 x , temos √3 + 4√3 = 5√3.
Produtos, quocientes e raízes quadradas
Aqui está um fato útil: a raiz quadrada de um produto = o produto das raízes quadradas.
Por exemplo,
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Etapa 1: fatorar números em produtos com um quadrado perfeito
Exemplo: 200 é 100 vezes 2 e 90 é 9 vezes 10.
Etapa 2: simplificar
Exemplo: Escreva √ (200) como 10√2 porque √ (100 vezes 2) é √ (100) vezes √2. E √ (100) é 10.
Exemplo: Escreva √90 como 3√10 porque √ (90) é √9 vezes √ (10). E √9 é 3.
Etapa 3: Simplifique ainda mais
Exemplo: substitua ’10 vezes 3 ‘por 30.
Etapa 4: combinar surds
Exemplo: Substitua √2 vezes √ (10) por √ (20)
Tomados separadamente, nem √2 nem √ (10) podem ser mais simplificados. Mas √2 vezes √ (10) é √ (2 vezes 10) que é √ (20).
Etapa 6: simplificar
Exemplo: Escreva √ (20) como √4 vezes √5.
Etapa 7: Simplifique ainda mais
Exemplo: √4 é 2 e 30 (2) é 60.
A resposta final é 60√5.
Aqui está outro fato importante a aprender: a raiz quadrada de um quociente = o quociente das raízes quadradas
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Etapa 1: reescrever o quociente
Exemplo: Escreva √ (360) dividido por √ (20) como √ (360/20).
Etapa 2: simplificar
Exemplo: substitua 360/20 por 18.
Etapa 3: fatorar com quadrados perfeitos
Substitua √ (18) por √ (9) vezes √ (2).
Etapa 4: simplificar
Exemplo: √ (18) é √ (9) vezes √ (2). E √ (9) = 3.
A resposta 3√2.
Diferença de quadrados
Johan pode ver surpresas nos cálculos das diferenças dos quadrados . Em geral, o produto ( a + b ) ( a – b ) = a 2 – a b + a b – b 2 = a 2 – b 2 . Multiplicamos a soma dos termos pela diferença dos termos. Disto surge o quadrado de um termo menos o quadrado do outro termo. Se esses termos forem surdos, um surd será elevado ao quadrado. E como um surd é a raiz quadrada de um inteiro, quando elevamos ao quadrado um surd, desfazemos a raiz quadrada, obtendo o inteiro sozinho. Por exemplo,
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Etapa 1: Identifique os termos
Exemplo: os termos são 1 e √2.
Etapa 2: quadrar cada um desses termos
Exemplo: 1 2 é 1 e (√2) 2 é 2.
Etapa 3: calcule a diferença dos quadrados
Exemplo: 1 – 2 é -1.
Essa ideia de diferença de quadrados ajuda a racionalizar denominadores.
Racionalizando Denominadores
Não querendo deixar uma raiz quadrada no denominador, racionalizamos o denominador . Por exemplo,
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Etapa 1: multiplique por √7 / √7
Isso é o mesmo que multiplicar por 1.
Etapa 2: multiplicar numeradores
O novo numerador é 1 vezes √7 = √7.
Etapa 3: multiplique os denominadores
O novo denominador é √7 vezes √7 = 7.
Etapa 4: Simpify
Temos √7 / 7 como a resposta.
Às vezes, a surd no denominador é mais complicado.
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Etapa 1: multiplique por (1 + √3) / (1 + √3)
Etapa 2: multiplicar numeradores
1 (1 + √3) é 1 + √3
Etapa 3: multiplique os denominadores
Esta é uma situação de diferença de quadrados, então (1 – √3) (1 + √3) é 1 2 – (√3) 2 .
Etapa 4: simplificar
(√3) 2 = 3.
Assim, o denominador torna-se 1 – 3 = -2.
Na última linha, cada parte do numerador é dividida por -2.
Agora que as palavras e os conceitos foram desvendados, Johan está pronto para sair com seus amigos.
Resumo da lição
A proporção de dois inteiros é um inteiro dividido por outro inteiro. Se um número puder ser escrito como a proporção de dois inteiros, esse número é chamado de número racional . Caso contrário, o número é um número irracional . Um exemplo de um número irracional é um número decimal não repetido como π, onde a parte decimal não tem um padrão de repetição. Quando a raiz de um inteiro resulta em um inteiro, temos um quadrado perfeito . Quando a raiz de um inteiro resulta em um número irracional, essa raiz é chamada de surd . Operações com surds incluem adição e subtração de surds quando o surd é o mesmo.