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Como calcular 10 mod 3

Passos para resolver

Vamos aprender como calcular 10 mod 3. Você ficará feliz em saber que este é um processo bastante simples. Contanto que você conheça o processo de divisão e as diferentes partes de um problema de divisão, você pode calcular facilmente um mod b em geral. Veja, a mod b é simplesmente uma expressão que representa o resto quando dividimos a por b .

Para esclarecer isso, vamos examinar as diferentes partes de um problema de divisão. Quando dividimos um número a por um número b , descobrimos quantas vezes b se encaixa em a , chamamos de q , e então temos algum número, r restante, onde 0 ≤ r < b . Vamos dar uma olhada no que chamamos de diferentes partes.

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Vemos que no problema da divisão a / b = q resto r , a é o dividendo, b é o divisor, q é o quociente e r é o resto. Vejamos como isso se relaciona com o cálculo do módulo.

Como dissemos, a mod b é simplesmente uma expressão que representa o resto quando dividimos a por b . Portanto, se a / b = q permanece r , então a mod b = r . Isso leva às seguintes etapas para encontrar um mod b , em geral:

  1. Primeiro, divida a por b
  2. então, encontre o resto: o resto é um mod b

Muito fácil, hein? Vamos fazer isso para 10 mod 3. Primeiro, dividimos 10 por 3.

10/3 = 3 resto 1

Vemos que o resto é 1, que é a segunda etapa, e isso nos diz que 10 mod 3 = 1. Nada difícil!

Usando um relógio para explicar a matemática modular

Agora que sabemos como encontrar o 10 mod 3, vamos nos aprofundar um pouco mais. Como acabamos de ver, podemos definir um mod b como o resto quando a é dividido por b . Vamos investigar outra maneira de ver isso, que é com um relógio. Hã? Sim, um relógio.

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Você provavelmente não percebeu, mas se controlar o tempo em um relógio padrão de 12 horas, na verdade está trabalhando com o módulo 12 desde que começou a contar as horas! Vamos pensar sobre isso. Suponha que sejam 11 horas e você deseja saber que horas serão em 4 horas. Se somarmos 11 + 4, teremos 15, mas não diríamos que são 15 horas, diríamos que são 3 horas porque quando chegarmos às 12 horas, começaremos de novo. Além disso, observe que 15 dividido por 12 é 1 resto 3, e isso significa que 15 mod 12 = 3. Isso não é coincidência! Dizer a hora em um relógio padrão de 12 horas é o mesmo que trabalhar no módulo 12.

Se quisermos encontrar um mod 12, simplesmente começamos às 12 horas e contamos uma hora. Isso nos dará um mod 12. Por exemplo, suponha que você queira encontrar 20 mod 12. Você começa no 12 no relógio e conta 20 horas adiante (representado por pontos na imagem).

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Vemos que você pousou em 8. Portanto, 20 mod 12 = 8. Você pode verificar dividindo 20 por 12 e verificando se obtém 8 como resto (o que você faz!). A única coisa a se ter em mente é que se você estiver contando com o relógio para encontrar um mod 12 e chegar ao 12, isso é na verdade igual a 0, não 12. Por exemplo, se você estivesse encontrando 24 mod 12, você pousar em 12, mas quando dividimos 24 por 12, obtemos um resto de 0, então 24 mod 12 = 0.

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O que é realmente bom nisso é que, embora o relógio padrão de 12 horas seja o exemplo mais conhecido de trabalho com módulo dessa forma, podemos criar um relógio que tenha b horas para trabalhar no módulo b . Por exemplo, toda esta lição foi baseada em encontrar 10 mod 3. Se quiséssemos usar um relógio para encontrar isso, veríamos que o módulo é 3, então criaríamos um relógio com 3 horas. Você pode usar 1, 2 e 3 e lembre-se de que se chegar ao 3 enquanto conta, na verdade é 0.

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Agora, se começarmos com 3 (ou 0) e continuarmos contando até 10, veremos que pousamos em 1, então 10 mod 3 = 1, exatamente como vimos antes!

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Resumo da lição

a mod b é simplesmente uma expressão que representa o resto quando dividimos a por b .

Aprendemos duas maneiras de calcular um mod b : uma usa divisão e a outra usa relógios. Usando os dois métodos, calculamos que 10 mod 3 é igual a 1. Seja qual for o método que você usar, é uma maneira bem organizada e diferente de ver as coisas! Agora, você sabe que da próxima vez que verificar a hora, você é na verdade um mago da matemática e está trabalhando no módulo 12!