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Como avaliar logaritmos

Revisão rápida do formulário logarítmico

Aprendemos que os logaritmos são a operação inversa dos exponenciais e nos fornecem uma maneira de resolver equações exponenciais. Quando estávamos tentando descobrir quão longe no futuro estará antes que existam 200 bilhões de telefones celulares, ficamos presos à equação 2 x = 34.359.738.368. É aí que o log entrou, porque a resposta à nossa pergunta, ‘qual expoente transforma 2 em 34.359.738.368?’ é exatamente o que é log 2 (34.359.738.368). Decidimos que o log 2 de 34.359.738.368 era 35, porque 2 35 = 34.359.738.368. O que você vê são duas maneiras diferentes de escrever exatamente a mesma coisa; Eu poderia escrever esta equação na forma logarítmica , que é log b ( y) = x , ou poderia escrever na forma exponencial , que é b x = y . E essas duas formas são apenas duas maneiras diferentes de dizer a mesma coisa.


A forma exponencial pode ser usada para verificar seu trabalho, mas a resposta real é 3
Registrar o formulário exponencial

Agora, muitos alunos ficam assustados quando veem um log , porque é novo, e eles não estão acostumados com isso, e pensam que isso significa multiplicar o log por 5, ou aumentar 5 à 25ª potência … mas nenhum dos dois dessas são realmente verdadeiras. O pequeno 5 abaixo do log é um ‘subscrito’ e vai com o log. Cada registro terá um destes, e ele nos diz que tipo de registro estamos fazendo.

Problema # 1

Neste exemplo, estamos pegando o log de base 5 de 25 – então, estamos pegando o log 5 desse número. Portanto, estamos sendo questionados: 5 a que potência é igual a 25? A resposta é, obviamente, 2. Portanto, a resposta para nosso log é simplesmente 2, porque 5 2 = 25 .

Problema 2

Vamos tentar outro, log 3 (27) =? A resposta é o expoente que transformará a base do log no número do qual estamos tirando o log. Portanto, a resposta é 3, porque 3 3 = 27 . Agora, escrever a forma exponencial para esses problemas pode ser uma maneira de provar sua resposta, mas não é a resposta em si. A resposta é apenas o número que obtemos, e a forma exponencial é uma maneira de dizer por que essa resposta é a resposta que é ou uma forma de verificar seu trabalho.

Problema # 3

Outro exemplo: Que tal log 9 (1) =? Qual expoente transforma 9 em 1? Bem, você deve se lembrar da propriedade do expoente 0 – lembre-se de que qualquer coisa elevada à potência 0 lhe dá 1, então 0 é o expoente que transforma 9 em 1, então a resposta para este é apenas 0.

Problema # 4


Em resumo, log10 é escrito como log e o log natural é escrito como ln
log10 e log natural

Ou, finalmente, que tal log 2 (1/8) =? Para este, você terá que lembrar a propriedade do expoente negativo. Os expoentes negativos nos dão frações, e como tenho que transformar 2 em 8, essa é a 3ª potência, porque 2 * 2 * 2 = 8, então 2 (-3) = 1/8 e, portanto, a resposta para log 2 ( 1/8) é, simplesmente, -3.

Log da Base 10 e Log Natural

Como você pode ver, existem todos os tipos de registros. log 2 , log 8 , log 55 , log π … tudo o que quisermos. Mas existem dois logs que são usados ​​com mais freqüência: log 10 e log e . Agora, assim como usamos π para significar 3,14159 e assim por diante, usamos a letra e para significar 2,718281 e assim por diante. Este é chamado de base natural . Não será realmente útil até o cálculo, então, por enquanto, vamos apenas saber que existe e que é cerca de 2,7.

Então, como esses dois registros são muito usados, os matemáticos descobriram uma forma abreviada de escrevê-los. O log 10 tornou-se apenas o log simples e o log e tornou-se o log natural , abreviado como ln . Então, se você vir um problema que diz log100, isso realmente significa log 10 (100), e se você vir um problema que diz ln5, isso realmente significa apenas log e (5).

Mudança da Fórmula Base

Uma última coisa. Às vezes, seremos solicitados a avaliar um log que não possui uma resposta de número inteiro. Diga log 2 (5). Bem, uma vez que 2 2 = 4 e 2 3 = 8, e estou sendo questionado sobre 2 ao que é 5, não tenho certeza. É algo entre 2 e 3, mas provavelmente está perto de 2 – não sei, talvez 2.1? Bem, nós realmente não sabemos, então gostaríamos de poder usar nossa calculadora para isso. Mas, a maioria das calculadoras tem apenas os botões log 10 (log) e log e (ln), então como podemos fazer log 2 ?


A mudança da fórmula base
Mudança da Fórmula Base

Para circunstâncias como essa, podemos usar o que é chamado de fórmula de mudança de base . A mudança da fórmula de base informa que log b ( a ) = log z ( a ) / log z ( b ) , o que basicamente significa que podemos mudar o log para uma base diferente – podemos escolher em qual base mudar e apenas divida o log de a com o log de b. Portanto, podemos avaliar o log 2 (5) alterando a base de 2 para um botão que está na minha calculadora – talvez 10. Isso nos permite dizer que log 2 (5) é igual a log 10 (5) / log 10(2) – Posso usar os botões da calculadora para descobrir que, na verdade, é cerca de 2,3. Isso não estava muito longe!

Resumo da lição

Para revisar: a forma logarítmica ( log b ( y ) = x ) e a forma exponencial ( b x = y ) são apenas duas maneiras de escrever a mesma coisa. Podemos usar esse conhecimento para avaliar logaritmos pensando, ‘qual é o expoente que transformaria a base do log no número do qual estamos tirando o log?’ Se o log não tiver uma solução de número inteiro, podemos usar a fórmula de mudança de base para estimá-la com nossa calculadora. Os dois botões de log que estão na maioria das calculadoras são o log 10 , que é apenas o botão de log sem nenhum número nele ( log ), e o log e, que é o botão que diz apenas ln .