Reconhecendo Sequências
Uma das habilidades mais importantes que você aprenderá nas aulas de matemática é a capacidade de reconhecer sequências. Pense nisso … talvez você nem sempre use álgebra e geometria, dependendo do seu trabalho, mas a capacidade de aprender padrões é importante em quase todas as profissões. Até mesmo professores de inglês e arte, que você acha que não precisam usar matemática em suas tarefas diárias, precisam ser capazes de pegar as sequências.
Então, como você encontra uma sequência? E como você escreve uma sequência depois de encontrá-la? Nesta lição, veremos como identificar e escrever sequências aritméticas e geométricas.
Sequências Aritméticas
Você já contou por dois? Ou três? Ou calculou quantos dias faltam para o seu aniversário contando as semanas restantes e adicionando o número de dias extras? Em qualquer um desses casos, você usou uma sequência aritmética .
Uma sequência aritmética é usada sempre que você simplesmente adiciona ou subtrai o mesmo número repetidamente para criar uma sequência. Por exemplo, quando você conta por 2s, está apenas adicionando 2 ao último número nomeado e repetindo o processo: 2, 4, 6, 8, 10. Da mesma forma, se você contasse por 3s, faria o mesma coisa, mas apenas com 3 em vez de 2: 3, 6, 9, 12, 15. Você também pode contar regressivamente a partir de um número, por exemplo, até seu aniversário. Se faltassem 55 dias para seu aniversário, você poderia contar regressivamente em 7s para o número de dias em uma semana, então, quando obtivesse um número abaixo de sete, isso deixaria você com a parte dos dias das semanas e dias: 55, 48, 41, 34, 27, 20, 13, 6. Conte todos os números, exceto o número 6. Parece que você tem 7 semanas e 6 dias até o seu aniversário.
Encontrar diferenças comuns e escrever expressões
Em qualquer caso, as sequências aritméticas dependem de sempre haver uma diferença comum que seja a mesma. A diferença comum é o valor pelo qual você adiciona ou subtrai para cada termo da sequência. Em nosso primeiro exemplo de contagem por 2s, a diferença comum era 2. Da mesma forma, era 3 no exemplo de contagem por 3s. Para encontrar a diferença comum, simplesmente subtraia um número anterior em uma sequência de um último. Às vezes, será um número negativo – isso significa apenas que a sequência está diminuindo.
Para escrever qualquer expressão aritmética, basta usar a fórmula:
a + ( n – 1) * d
a é o primeiro número da sequência, enquanto n é o lugar dentro da sequência e d é a diferença comum.
Por exemplo, se fôssemos usar a fórmula no conjunto 4, 7, 10, 13 para encontrar o próximo termo, primeiro encontraríamos o número do termo dentro da sequência. Como sabemos quatro números, estamos procurando o quinto, então n é igual a 5. 5 menos 1 é 4, que então multiplicamos por d (que passa a ser 3). Lembre-se de que 3 é a diferença comum. 3 vezes 4 é 12, que então adicionamos ao número original da sequência, ou a . a é 4 aqui, então 12 mais 4 é 16.
Sequências Geométricas
Outras vezes, as sequências não aumentam ou diminuem na mesma proporção. Em vez disso, eles crescem ou encolhem muito rapidamente. Essas são chamadas de sequências geométricas . Em uma seqüência geométrica, o último número de uma seqüência é multiplicado ou dividido por um determinado número para estabelecer qual deve ser o próximo número da seqüência. Por exemplo, 2, 4, 8, 16, 32, 64 e assim por diante compreendem uma sequência geométrica. O mesmo acontece com 3, 9, 27, 81, 243 e assim por diante. Como você pode ver, as sequências geométricas aumentam e diminuem muito mais rápido do que as sequências aritméticas.
Encontrar proporções comuns e escrever expressões
Se você tentasse encontrar uma diferença comum em uma sequência geométrica, provavelmente não iria muito longe. Em vez disso, você deve procurar outra coisa. Essa outra coisa é chamada de proporção comum. A proporção comum descreve a multiplicação ou divisão que acontece com cada termo da sequência. Vamos pegar a primeira sequência de cima, 2, 4, 8, 16, 32 e 64. Agora, o que acontece com cada número à medida que avança? Uma maneira de fazer isso é perguntar que matemática simples poderíamos fazer para prever o próximo número. Para ir de 2 a 4, você pode adicionar 2 ou multiplicar por 2. Se tentarmos qualquer um desses com indo de 4 a 8, veremos que apenas um deles funciona. Na verdade, cada número na sequência pode ser previsto multiplicando o último número por 2.
Mas e se a proporção comum fosse a causa do encolhimento? Digamos que estivéssemos observando uma sequência de 243, 81, 27, 9 e 3. O que poderia causar essa redução? Novamente, vamos ver o que a matemática fácil pode realizar cada um deles. No primeiro, de 243 a 81, você pode dividir por 3 ou subtrair 162. Como não podemos continuar subtraindo 162 e obter o próximo número, vamos tentar dividir cada um por 3. Isso funciona! Como resultado, a proporção comum para essa sequência está dividindo por 3.
Para escrever isso como uma equação, usaríamos a fórmula para o próximo número é igual ao número original vezes a proporção comum para a potência do número do termo menos 1. Lembre-se de que 4 é a proporção comum, 5 é o número do termo que estamos procurando e 4 é o número original. Então, vamos conectar tudo isso.
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O próximo número é igual a 4 vezes 4 à potência de 5-1.
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Isso simplifica para 4 vezes 4 elevado à quarta potência, ou 4 vezes 256. Isso resulta em 1024.
Resumo da lição
Nesta lição, vimos como reconhecer e prever sequências aritméticas e geométricas. Lembre-se de que você apenas adiciona ou subtrai a diferença comum para criar uma sequência aritmética, enquanto as sequências geométricas requerem multiplicação ou divisão pela razão comum. Lembre-se de que uma sequência aritmética possui termos separados por uma diferença comum. Uma diferença comum é um número adicionado ou subtraído de um termo para localizar outros termos.
A fórmula para uma sequência aritmética é:
a + ( n – 1) * d
Uma sequência geométrica possui termos separados por uma proporção comum. Uma proporção comum é um número pelo qual cada termo é multiplicado ou dividido. A fórmula para uma sequência geométrica é:
a * r ^ ( n – 1)